题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分12分)在一个不透明的盒子中,放有标号分别为1,2,3的三个大小相同的小球,现从这个盒子中,有放回地先后取得两个小球,其标号分别为,记. (1)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
(2)求随机变量的分布列和数学期望.
(本小题满分12分)
在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、,设为坐标原点,点的坐标为,记.
(I)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
(II)求随机变量的分布列和数学期望.
(本小题满分12分)
在一个盒子中放有标号分别为1、2、3的三张卡片,现从这个盒子中有放回地先后抽取两张卡片,并记它们的标号分别为,设,
(1)求事件“”发生的概率;
(2)求的最大值,并求事件“取得最大值”的概率。
(本小题满分12分)
一个口袋中装有大小相同的个红球(且)和个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球的颜色不同则为中奖。
(Ⅰ)试用表示一次摸奖中奖的概率;
(Ⅱ)记从口袋中三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为,求的最大值?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,将个白球全部取出后,对剩下的个红球全部作如下标记:记上号的有个(),其余的红球记上号,现从袋中任取一球。表示所取球的标号,求的分布列、期望和方差。
(本小题满分12分)
在一个盒子中放有标号分别为1、2、3的三张卡片,现从这个盒子中有放回地先后抽取两张卡片,并记它们的标号分别为,设,
(1)求事件“”发生的概率;
(2)求的最大值,并求事件“取得最大值”的概率。
1~10:C C B C A B A B D A
11、 12、 13、 14、>
15、 (提示:15.,又)
16.解:(1)
………3(分)
由=0即
即对称中心为 …………6(分)
(2)已知b2=ac
即的值域为综上所述,,故值域为…12(分)
17.解:(1)的最大值为6,此时有或,故所求的概率为
. …………5(分)
(2)的所有可能取值是0,1,2,3,4,5,6.其分布列为:
0
1
2
3
4
5
6
……………10(分)
……12(分)
18.解:(1), 又
…………5(分)
(2)当时,则
其表面积
当与不垂直时,则,否则由(1)知,可得(矛盾).
当时,与不能垂直,否则
,从而,与矛盾.
,从而可得 …………①
由得, …………②
根据①、②得:,从而导致矛盾.
,从而得到
当时,
当时,
,即四面体的各个面是全等的三角形.
其表面积为. ……………12(分)
19.解:(I)从第n年初到第n+1年初,鱼群的繁殖量为axn,被捕捞量为bxn,死亡量为
…………(3分)
(II)若每年年初鱼群总量保持不变,则xn恒等于x1, n∈N*,从而由(*)式得
因为x1>0,所以a>b.
猜测:当且仅当a>b,且时,每年年初鱼群的总量保持不变. ……(6分)
(Ⅲ)若b的值使得xn>0,n∈N*, 由xn+1=xn(3-b-xn), n∈N*, 知0<xn<3-b, n∈N*, 特别地,有0<x1<3-b. 即0<b<3-x1,而x1∈(0, 2),所以
由此猜测b的最大允许值是1. ……………(10分)
下证 当x1∈(0, 2) ,b=1时,都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时,结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立,即xk∈(0, 2),则当n=k+1时,xk+1=xk(2-xk)>0.
又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2,所以xk+1∈(0, 2),故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知,对于任意的n∈N*,都有xn∈(0,2).
综上所述,为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0, n∈N*,则捕捞强度b最大允许值是1.…(13分)
20. 解:(1)设双曲线方程为,由椭圆求得两焦点为,
对于双曲线,又为双曲线的一条渐近线
解得 ,
双曲线的方程为 ……………(5分)
(2)解法一:
由题意知直线的斜率存在且不等于零。
设的方程:,则
在双曲线上,
同理有:
若则直线过顶点,不合题意.
是二次方程的两根.
,
此时.所求的坐标为. …………(13分)
解法二:由题意知直线的斜率存在且不等于零
设的方程:,则.
,.
,,,
又,,即
将代入得
,否则与渐近线平行。。
.
21.(1)
故在上是单调递增函数,在上是单调递减函数 ……4(分)
(2)①
是公差为1的等差数列,且首项为
故 ……………9(分)
②由(1)知,当时,在是单调递减函数,又,,即
.
………13(分)
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