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    一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）

    2,4,6

    二、填空题（每小题4分，共4小题，满分16分）

    13．800    14．    15．625    16．②④

    三、解答题（本大题共6小题，满分74分）

    17．解

       （Ⅰ）由题意知

    ……………………3分

    ……………………4分

    的夹角

    ……………………6分

    （Ⅱ）

    ……………………9分

    有最小值。

    的最小值是……………………12分

    18．解：

    （Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况

    则……………………4分

    （Ⅱ）由题意，的可能取值为3、4、5、6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为……………………6分

    的分布列为

    3

    4

    5

    6

    P

    ……………………10分

    19．解：

    连接BD交AC于O，则BD⊥AC，

    连接A1O

    在△AA1O中，AA1=2，AO=1，

    ∠A1AO=60°

    ∴A1O2=AA12+AO2－2AA1?Aocos60°=3

    ∴AO2+A1O2=A12

    ∴A1O⊥AO，由于平面AA1C1C⊥

    平面ABCD，

    所以A1O⊥底面ABCD

    ∴以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A1（0，0，）

    ……………………2分

    （Ⅰ）由于

    则

    ∴BD⊥AA1……………………4分

      （Ⅱ）由于OB⊥平面AA1C1C

    ∴平面AA1C1C的法向量

    设⊥平面AA1D

    则

    得到……………………6分

    所以二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分

    （Ⅲ）假设在直线CC1上存在点P，使BP//平面DA1C1

    设

    则

    得……………………9分

    设

    则设

    得到……………………10分

    又因为平面DA1C1

    则?

    即点P在C1C的延长线上且使C1C=CP……………………12分

    法二：在A1作A1O⊥AC于点O，由于平面AA1C­1C⊥平面

    ABCD，由面面垂直的性质定理知，A1O⊥平面ABCD，

    又底面为菱形，所以AC⊥BD

    ……………………4分

    （Ⅱ）在△AA1O中，A1A=2，∠A1AO=60°

    ∴AO=AA1?cos60°=1

    所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以

    O也是BD中点

    由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA1C

    过O作OE⊥AA1于E点，连接OE，则AA1⊥DE

    则∠DEO为二面角D―AA1―C的平面角

    ……………………6分

    在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

    ∴AC=AB=BC=2

    ∴AO=1，DO=

    在Rt△AEO中，OE=OA?sin∠EAO=

    DE=

    ∴cos∠DEO=

    ∴二面角D―A1A―C的平面角的余弦值是……………………8分

    （Ⅲ）存在这样的点P

    连接B1C，因为A1B1ABDC

    ∴四边形A1B1CD为平行四边形。

    ∴A1D//B1C

    在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP……………………10分

    因B­1­BCC1，……………………12分

    ∴BB1CP

    ∴四边形BB1CP为平行四边形

    则BP//B1C

    ∴BP//A1D

    ∴BP//平面DA1C1

    20．解：

    （Ⅰ）

    令……………………2分

    当是增函数

    当是减函数……………………4分

    ∴……………………6分

    （Ⅲ）（i）当时，，由（Ⅰ）知上是增函数，在上是减函数

    ……………………7分

    又当时，所以的图象在上有公共点，等价于…………8分

    解得…………………9分

    （ii）当时，上是增函数，

    ∴

    所以原问题等价于

    又

    ∴无解………………11分

     

     


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