题目列表(包括答案和解析)
已知
(1)求函数在上的最小值
(2)对一切的恒成立,求实数a的取值范围
(3)证明对一切,都有成立
【解析】第一问中利用
当时,在单调递减,在单调递增,当,即时,,
第二问中,,则设,
则,单调递增,,,单调递减,,因为对一切,恒成立,
第三问中问题等价于证明,,
由(1)可知,的最小值为,当且仅当x=时取得
设,,则,易得。当且仅当x=1时取得.从而对一切,都有成立
解:(1)当时,在单调递减,在单调递增,当,即时,,
…………4分
(2),则设,
则,单调递增,,,单调递减,,因为对一切,恒成立, …………9分
(3)问题等价于证明,,
由(1)可知,的最小值为,当且仅当x=时取得
设,,则,易得。当且仅当x=1时取得.从而对一切,都有成立
已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)设,若对任意,,不等式 恒成立,求实数的取值范围.
【解析】第一问利用的定义域是
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函数的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是
第二问中,若对任意不等式恒成立,问题等价于只需研究最值即可。
解: (I)的定义域是 ......1分
............. 2分
由x>0及 得1<x<3;由x>0及得0<x<1或x>3,
故函数的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是 ........4分
(II)若对任意不等式恒成立,
问题等价于, .........5分
由(I)可知,在上,x=1是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点,
故也是最小值点,所以; ............6分
当b<1时,;
当时,;
当b>2时,; ............8分
问题等价于 ........11分
解得b<1 或 或 即,所以实数b的取值范围是
⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为,.
⑴把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
⑵求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
【解析】本试题主要是考查了极坐标的返程和直角坐标方程的转化和简单的圆冤啊位置关系的运用
(1)中,借助于公式,,将极坐标方程化为普通方程即可。
(2)中,根据上一问中的圆的方程,然后作差得到交线所在的直线的普通方程。
解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(I),,由得.所以.
即为⊙O1的直角坐标方程.
同理为⊙O2的直角坐标方程.
(II)解法一:由解得,
即⊙O1,⊙O2交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.
解法二: 由,两式相减得-4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=-x
已知函数;
(1)若函数在其定义域内为单调递增函数,求实数的取值范围。
(2)若函数,若在[1,e]上至少存在一个x的值使成立,求实数的取值范围。
【解析】第一问中,利用导数,因为在其定义域内的单调递增函数,所以 内满足恒成立,得到结论第二问中,在[1,e]上至少存在一个x的值使成立,等价于不等式 在[1,e]上有解,转换为不等式有解来解答即可。
解:(1),
因为在其定义域内的单调递增函数,
所以 内满足恒成立,即恒成立,
亦即,
即可 又
当且仅当,即x=1时取等号,
在其定义域内为单调增函数的实数k的取值范围是.
(2)在[1,e]上至少存在一个x的值使成立,等价于不等式 在[1,e]上有解,设
上的增函数,依题意需
实数k的取值范围是
关于的不等式在区间上有解,求的取值范围.
1.D
2.C 提示:画出满足条件A∪B=A∪C的文氏图,可知有五种情况,以观察其中一种,如图,显然只要图中阴影部分相等,B、C未必要相等,条件A∪B=A∪C仍可满足,对照四个选择支,A、B、D均可排除,故选C.
3.D
4.B 提示:由题意知,M,N,因此,(),又A∩B=,故集合A、B的子集中没有相同的集合,可知M、N中没有其他的公共元素,故正确的答案是M∩N=.
5.A 提示:由得,当时,△,
得,当时,△,且,即
所以
6.A 7.D 8.A
9.D提示:设3x2-4x-32<0的一个必要不充分条件是为Q,P=.由题意知:P能推出Q,但Q不能推出P.也可理解为:PQ.
10.A 11.B
12.D 提示:由,又因为是的充分而不必要条件,所以,即。可知A=或方程的两根要在区间[1,2]内,也即以下两种情况:
(1);
(2) ;综合(1)、(2)可得。
二、填空题
13.3 14. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
15. -2≤x≤6 提示:由[x]2-3[x]-10≤0得-2≤[x] ≤5,则-2≤x≤6. 16. ①④
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