题目列表(包括答案和解析)
设点是抛物线的焦点,是抛物线上的个不同的点().
(1) 当时,试写出抛物线上的三个定点、、的坐标,从而使得
;
(2)当时,若,
求证:;
(3) 当时,某同学对(2)的逆命题,即:
“若,则.”
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究:
① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例(本研究方向最高得4分);
② 对任意给定的大于3的正整数,试构造该假命题反例的一般形式,并说明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真,请写出你认为需要补充的一个条件,并说明加上该条件后,能使该逆命题为真命题的理由(本研究方向最高得10分).
【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向,则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.
【解析】第一问利用抛物线的焦点为,设,
分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.
由抛物线定义得到
第二问设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.
由抛物线定义得
第三问中①取时,抛物线的焦点为,
设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
,
则,不妨取;;;
解:(1)抛物线的焦点为,设,
分别过作抛物线的准线的垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
因为,所以,
故可取满足条件.
(2)设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.
由抛物线定义得
又因为
;
所以.
(3) ①取时,抛物线的焦点为,
设,分别过作抛物线的准线垂线,垂足分别为.由抛物线定义得
,
则,不妨取;;;,
则,
.
故,,,是一个当时,该逆命题的一个反例.(反例不唯一)
② 设,分别过作
抛物线的准线的垂线,垂足分别为,
由及抛物线的定义得
,即.
因为上述表达式与点的纵坐标无关,所以只要将这点都取在轴的上方,则它们的纵坐标都大于零,则
,
而,所以.
(说明:本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点,均为反例.)
③ 补充条件1:“点的纵坐标()满足 ”,即:
“当时,若,且点的纵坐标()满足,则”.此命题为真.事实上,设,
分别过作抛物线准线的垂线,垂足分别为,由,
及抛物线的定义得,即,则
,
又由,所以,故命题为真.
补充条件2:“点与点为偶数,关于轴对称”,即:
“当时,若,且点与点为偶数,关于轴对称,则”.此命题为真.(证略)
如图⊥平面,⊥,过做
的垂线,垂足为,过做的垂线,垂足为
,求证⊥。以下是证明过程:
要证 ⊥
只需证 ⊥平面
只需证 ⊥(因为⊥)
只需证 ⊥平面
只需证 ① (因为⊥)
只需证 ⊥平面
只需证 ② (因为⊥)
由只需证 ⊥平面可知上式成立
所以⊥
把证明过程补充完整① ②
若,则下列不等式对于一切满足条件的恒成立的是___________(写出所以正确命题的编号)
①;②;③;④.
A、(0,2) | B、[0,2] | C、(-∞,2] | D、(-∞,0) |
1.D
2.C 提示:画出满足条件A∪B=A∪C的文氏图,可知有五种情况,以观察其中一种,如图,显然只要图中阴影部分相等,B、C未必要相等,条件A∪B=A∪C仍可满足,对照四个选择支,A、B、D均可排除,故选C.
3.D
4.B 提示:由题意知,M,N,因此,(),又A∩B=,故集合A、B的子集中没有相同的集合,可知M、N中没有其他的公共元素,故正确的答案是M∩N=.
5.A 提示:由得,当时,△,
得,当时,△,且,即
所以
6.A 7.D 8.A
9.D提示:设3x2-4x-32<0的一个必要不充分条件是为Q,P=.由题意知:P能推出Q,但Q不能推出P.也可理解为:PQ.
10.A 11.B
12.D 提示:由,又因为是的充分而不必要条件,所以,即。可知A=或方程的两根要在区间[1,2]内,也即以下两种情况:
(1);
(2) ;综合(1)、(2)可得。
二、填空题
13.3 14. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
15. -2≤x≤6 提示:由[x]2-3[x]-10≤0得-2≤[x] ≤5,则-2≤x≤6. 16. ①④
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