题目列表(包括答案和解析)
已知递增等差数列满足:,且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)若不等式对任意恒成立,试猜想出实数的最小值,并证明.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中,利用设数列公差为,
由题意可知,即,解得d,得到通项公式,第二问中,不等式等价于,利用当时,;当时,;而,所以猜想,的最小值为然后加以证明即可。
解:(1)设数列公差为,由题意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等价于,
当时,;当时,;
而,所以猜想,的最小值为. …………8分
下证不等式对任意恒成立.
方法一:数学归纳法.
当时,,成立.
假设当时,不等式成立,
当时,, …………10分
只要证 ,只要证 ,
只要证 ,只要证 ,
只要证 ,显然成立.所以,对任意,不等式恒成立.…14分
方法二:单调性证明.
要证
只要证 ,
设数列的通项公式, …………10分
, …………12分
所以对,都有,可知数列为单调递减数列.
而,所以恒成立,
故的最小值为.
一、选择题
1. D
解析:∵a3+a7+a11=3a7为常数,
∴S13==13a7,也是常数.
2. C
解析:∵易知q≠1,S6∶S3=1∶2=,q3=-,
∴S9∶S3==1+q3+q6=1-+(-)2=.
3.A ,
又
4.D 数列是以2为首项,以为公比的等比数列,项数为故选D。
5.B
6. D
解析:当q=1时,Sn,Sn+1,Sn+2构成等差数列;
当q=-2时,Sn+1,Sn,Sn+2构成等差数列;
当q=-时,Sn,Sn+2,Sn+1构成等差数列.
7.A 仅②不需要分情况讨论,即不需要用条件语句
8. D
9. D
解析:易知an=
∴a13+a23+…+an3=23+81+82+…+8n-1=8+=(8n-1+6).
10.A提示:依题意可得.
11.B,指输入的数据.
12.D
(法一)辗转相除法:
∴是和的最大公约数.
(法二)更相减损术:
∴是和的最大公约数.
二、填空题
13.
14.
当时,是正整数。
15.
解析:bn===a1,bn+1=a1,=(常数).
16.-6
三、解答题
17.解(1)
以3为公比的等比数列.
(2)由(1)知,..
不适合上式,
.
18.解:(1)an= (2).
19.解:(1),;
(2)由(1)得,假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则 即
∴,,,得
∴p=r,矛盾. ∴数列{bn}中任意三项都不可能成等比数列.
20.解:设未赠礼品时的销售量为a0个,而赠送礼品价值n元时销售量为an个,
,
又设销售利润为数列,
当,
考察的单调性,
当n=9或10时,最大
答:礼品价值为9元或10元时商品获得最大利润.
21.解析:(1)时,
即
两式相减:
即故有
。
数列为首项公比的等比数列。
(2)
则
又
(3)
①
而 ②
①-②得:
22.解:(1)b4=b1+3d 即11=2+3d, ∴b1=2, b2=5, b3=8, b4=11, b5=8, b6=5, b7=2;
(2)S=C1+C2+…+C49=2(C25+C26+…+C49)-C25=;
(3),d100=2+3×49=149,∴d1, d2,…d50是首项为149,公差为-3的等差数列.
当n≤50时,
当51≤n≤100时,Sn=d1+d2+…d50=S50+(d51+d52+…dn)
=3775+(n-50)×2+=
∴综上所述,.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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