题目列表(包括答案和解析)
已知数列满足,
(1)求证:数列是等比数列;
(2)求数列的通项和前n项和.
【解析】第一问中,利用,得到从而得证
第二问中,利用∴ ∴分组求和法得到结论。
解:(1)由题得 ………4分
……………………5分
∴数列是以2为公比,2为首项的等比数列; ……………………6分
(2)∴ ……………………8分
∴ ……………………9分
∴
有四个数:前三个成等差数列,后三个成等比数列。首末两数和为16,中间两数和为12。求这四个数。
【解析】本试题主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式的运用。
已知数列中,,点在直线上,其中…。
(1)令,证明数列是等比数列;
(2)设分别为数列、的前项和,证明数列是等差数列。
【解析】本试题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和的综合运用问题。既考查了概念,又考查了同学们的计算能力。
在等差数列{an}中,a1=3,其前n项和为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+ S2=12,.(Ⅰ)求an 与bn;(Ⅱ)设数列{cn}满足,求{cn}的前n项和Tn.
【解析】本试题主要是考查了等比数列的通项公式和求和的运用。第一问中,利用等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比为q,且b2+ S2=12,,可得,解得q=3或q=-4(舍),d=3.得到通项公式故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. 第二问中,,由第一问中知道,然后利用裂项求和得到Tn.
解: (Ⅰ) 设:{an}的公差为d,
因为解得q=3或q=-4(舍),d=3.
故an=3+3(n-1)=3n, bn=3 n-1. ………6分
(Ⅱ)因为……………8分
一、选择题
1. D
解析:∵a3+a7+a11=3a7为常数,
∴S13==13a7,也是常数.
2. C
解析:∵易知q≠1,S6∶S3=1∶2=,q3=-,
∴S9∶S3==1+q3+q6=1-+(-)2=.
3.A ,
又
4.D 数列是以2为首项,以为公比的等比数列,项数为故选D。
5.B
6. D
解析:当q=1时,Sn,Sn+1,Sn+2构成等差数列;
当q=-2时,Sn+1,Sn,Sn+2构成等差数列;
当q=-时,Sn,Sn+2,Sn+1构成等差数列.
7.A 仅②不需要分情况讨论,即不需要用条件语句
8. D
9. D
解析:易知an=
∴a13+a23+…+an3=23+81+82+…+8n-1=8+=(8n-1+6).
10.A提示:依题意可得.
11.B,指输入的数据.
12.D
(法一)辗转相除法:
∴是和的最大公约数.
(法二)更相减损术:
∴是和的最大公约数.
二、填空题
13.
14.
当时,是正整数。
15.
解析:bn===a1,bn+1=a1,=(常数).
16.-6
三、解答题
17.解(1)
以3为公比的等比数列.
(2)由(1)知,..
不适合上式,
.
18.解:(1)an= (2).
19.解:(1),;
(2)由(1)得,假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则 即
∴,,,得
∴p=r,矛盾. ∴数列{bn}中任意三项都不可能成等比数列.
20.解:设未赠礼品时的销售量为a0个,而赠送礼品价值n元时销售量为an个,
,
又设销售利润为数列,
当,
考察的单调性,
当n=9或10时,最大
答:礼品价值为9元或10元时商品获得最大利润.
21.解析:(1)时,
即
两式相减:
即故有
。
数列为首项公比的等比数列。
(2)
则
又
(3)
①
而 ②
①-②得:
22.解:(1)b4=b1+3d 即11=2+3d, ∴b1=2, b2=5, b3=8, b4=11, b5=8, b6=5, b7=2;
(2)S=C1+C2+…+C49=2(C25+C26+…+C49)-C25=;
(3),d100=2+3×49=149,∴d1, d2,…d50是首项为149,公差为-3的等差数列.
当n≤50时,
当51≤n≤100时,Sn=d1+d2+…d50=S50+(d51+d52+…dn)
=3775+(n-50)×2+=
∴综上所述,.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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