题目列表(包括答案和解析)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)证明:易得,于是,所以
(2) ,设平面PCD的法向量,
则,即.不防设,可得.可取平面PAC的法向量于是从而.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)证明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如图,作于点H,连接DH.由,,可得.
因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值为.
(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
已知命题及其证明:
(1)当时,左边=1,右边=所以等式成立;
(2)假设时等式成立,即成立,
则当时,,所以时等式也成立。
由(1)(2)知,对任意的正整数n等式都成立。
经判断以上评述
A.命题、推理都正确 B命题不正确、推理正确
C.命题正确、推理不正确 D命题、推理都不正确
已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
当时单调递减;当时单调递增,故当时,取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当. ①
令则
当时,单调递增;当时,单调递减.
故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.
综上所述,的取值集合为.
(Ⅱ)由题意知,令则
令,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当,即
从而,又
所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使即成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.
[ ]
已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆的离心率为,且经过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存过点(2,1)的直线与椭圆相交于不同的两点,满足?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】第一问利用设椭圆的方程为,由题意得
解得
第二问若存在直线满足条件的方程为,代入椭圆的方程得
.
因为直线与椭圆相交于不同的两点,设两点的坐标分别为,
所以
所以.解得。
解:⑴设椭圆的方程为,由题意得
解得,故椭圆的方程为.……………………4分
⑵若存在直线满足条件的方程为,代入椭圆的方程得
.
因为直线与椭圆相交于不同的两点,设两点的坐标分别为,
所以
所以.
又,
因为,即,
所以.
即.
所以,解得.
因为A,B为不同的两点,所以k=1/2.
于是存在直线L1满足条件,其方程为y=1/2x
一、选择题
1-5 BBAB 文B理A 6-10 ADCBC 11-12文B理D A
6.A 提示:设=,则表示点与点(0,0)连线的斜率.当该直线kx-y=0与圆相切时,取得最大值与最小值.圆心(2,0),由=1,解得,∴的最大值为.11.(文) B
11.(文) A 提示:抛物线的焦点为F(1,0),作PA垂直于准线x=-1,则
|PA|=|PF|,当A、P、Q在同一条直线上时,
|PF|+|PQ|=|PA|+|PQ|=|AQ|,
此时,点P到Q点距离与抛物线焦点距离之和取得最小值,
P点的纵坐标为-1,有1=4x,x=,此时P点坐标为(,-1),故选A。
11.(理) B提示:设则
又。
12.A 提示:如右图所示,设点P的坐标为(x0,y0),由抛物线以F2为顶点,F1为焦点,可得其准线的方
程为x=3c, 根据抛物线的定义可得|PF1|=|PR|=3c-x0,又由点P为双曲线上的点,根据双曲线的第二定义可得=e, 即得|PF2|=ex0-a, 由已知a|PF2|+c|PF1|=8a2,可得-a2+3c2=8a2,即e2=3,由e>1可得e=, 故应选A.
二、填空题:13-16文理 3 35
九、实战演习
一 选择题
1.与圆相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有 ( )
A.2条 B.3条 C.4条 D.6条
1.C提示: 在两坐标轴上截距相等的直线有两类:①直线过原点时,有两条与已知圆相切;②直线不过原点时,设其方程为,也有两条与已知圆相切.易知①、②中四条切线互不相同,故选C.
2.在中,三内角所对的边是且成等差数列,那么直线与直线的位置关系是 ( )
A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直
2.B提示:成等差数列,
又,
,故两直线重合。选B。
3.已知函数,集合,集合,则集合的面积是
A. B. C. D.
3.D提示: 集合即为:,集合即为: ,其面积等于半圆面积。
4.(文)已知直线m:交x轴于M,E是直线m上的点,N(1,0),又P在线段EN的垂直平分线上,且,则动点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
4.(文)D.
4.(理)已知P在双曲线上变动,O是坐标原点,F是双曲线的右焦点,则的重心G的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
4.(理)C.提示:双曲线焦点坐标是F(6,0).设双曲线上任一点P(x0,y0), 的重心G(x,y),则由重心公式,
得,解得,代入,得为所求.
5.已知是三角形的一个内角,且,则方程表示( )
A.焦点在轴上的椭圆 B.焦点在轴上的椭圆
C.焦点在轴上的双曲线 D.焦点在轴上的双曲线
5.B提示:由,又是三角形的一个内角,故,
再由,
结合解得
。
故方程表示焦点在轴上的椭圆。选B。
或者结合单位圆中的三角函数线直接断定。
6.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 ( )
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在
6.B提示:该抛物线的通径长为4,而这样的弦AB的长为,故这样的直线有且仅有两条。选B。
或者(1)当该直线的斜率不存在时,它们的横坐标之和等于2;
(2)当该直线的斜率存在时,设该直线方程为,代入抛物线方程得
,由。故这样的直线有且仅有两条。
7.一个椭圆中心在原点,焦点在轴上,(2,)是椭圆上一点,且成等差数列,则椭圆方程为 ( )
A. B. C. D.
7.A提示:设椭圆方程为,由成等差数列知,从而,故椭圆方程为,将P点的坐标代入得,故所求的椭圆方程为。选A。
8.以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形形状为( )
A .直角三角形 B. 等腰三角形 C.非等腰三角形三角形 D.等边三角形
8. B.提示:由两点间距离公式,得,,故选B.
9. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点,则k的取值范围是( )
A., B., C., D.,
9.D提示:特别注意的题目。将直线代入双曲线方程得
若直线与双曲线的右支交于不同的两点,则应满足
。选D。
10. (文)设离心率为e的双曲线的右焦点为F,直线过点F且斜率为K,则直线与双曲线C左、右支都有相交的充要条件是( )
A. B.
C. D.
10. (理)已知两个点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B型直线”。给出下列直线①②③④。其中属于“B型直线”的是( )
A、①③ B、①② C、③④ D、①④
10. (文)C 提示:由已知设渐近线的斜率为于是
,即故选C;
10. (理)B 提示:理解为以M、N为焦点的双曲线,则c=5, 又|PM|-|PN|=6,则a=3,b=4,几何意义是双曲线的右支,所谓“B型直线”即直线与双曲线的右支有交点,又渐近线为:,逐一分析,只有①②与双曲线右支有交点,故选B;
11.已知双曲线的左、右焦点分别为,点P在双曲线上,且,则此双曲线的离心率的最大值为 ( )
A、 B、 C、 D、2
11.B提示:,由 又
∴ 故选B项。
12.若AB过椭圆 + =1 中心的弦, F1为椭圆的焦点, 则△F1AB面积的最大值为( )
A. 6 B.12 C.24 D.48
12.B提示:设AB的方程为,代入椭圆方程得,。选B。
二 填空题
13.椭圆M:=1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆M上任一点,且 的最大值的取值范围是[2c2,3c2],其中. 则椭圆M的离心率e的取值范围是
13.
14. 1.1998年12月19日,太原卫星发射中心为摩托罗拉公司(美国)发射了两颗“铱星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆,近地点为m km,远地点为 n km,地球的半径为R km,则通信卫星运行轨道的短轴长等于
14. 2提示: -c=m+R, +c=n+R,
∴c=,b=2=2.
15. 已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线交x、y轴于A、B两点,O为原点,|OA|=a,|OB|=b,a>2,b>2,线段AB中点的轨迹方程是 。
15. 提示:满足(a-2)(b-2)=2。设AB的中点坐标为(x,y), 则a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= (x>1,y>1)。
16.以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点,k为非零常数,,则动点P的轨迹为双曲线;
②过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB,O为坐标原点,若则动点的轨迹为椭圆;③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
④双曲线有相同的焦点.
其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号)
16. ③、④
三 解答题(74分)
17. (本小题满分12分)已知,直线:和圆:.
(1)求直线斜率的取值范围;
(2)直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?
解析:(1)直线的方程可化为,直线的斜率,因为,所以,当且仅当时等号成立.
所以,斜率的取值范围是.
(2)不能.由(1)知的方程为,其中.
圆的圆心为,半径.圆心到直线的距离.
由,得,即.从而,若与圆相交,则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于.所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧.
18. (本小题满分12分)已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点,O为坐标原点,点P)在椭圆上,线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,求的值
18.解:(1)由题意知:
∴椭圆的标准方程为=1.
(2)∵点C在椭圆上,A、B是椭圆的两个焦点,
∴AC+BC=2a=,AB=2c=2 .
在△ABC中,由正弦定理, ,
∴= .
19.(本小题满分12分)已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是(为大于0的常数).
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上一点,且过点
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