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    设.由题意知.所以.即. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

    （Ⅰ）证明PC⊥AD；

    （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

    （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

     

    【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

    （1）证明：易得，于是,所以

    (2) ,设平面PCD的法向量，

    则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

    所以二面角A-PC-D的正弦值为.

    （3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.

    由，故 

    所以，，解得，即.

    解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以.

    (2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得.

    因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

    因此所以二面角的正弦值为.

    （3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

    在中，由,,

    可得.由余弦定理，,

    所以.

     

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     已知命题及其证明：

    （1）当时，左边＝1，右边＝所以等式成立；

    （2）假设时等式成立，即成立，

    则当时，，所以时等式也成立。

    由（1）（2）知，对任意的正整数n等式都成立。      

    经判断以上评述

    A．命题、推理都正确　　　　　　B命题不正确、推理正确　

    C．命题正确、推理不正确　　　　  D命题、推理都不正确

     

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    已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.

    （1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

    （2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

    【解析】解：令.

    当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

    于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

    令则

    当时，单调递增；当时，单调递减.

    故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

    综上所述，的取值集合为.

    （Ⅱ）由题意知，令则

    令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

    从而，又

    所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

    【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

     

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    已知命题1+2+22+…+2n-1=2n-1及其证明：
    （1）当n=1时，左边=1，右边=21-1=1，所以等式成立；
    （2）假设n=k时等式成立，即1+2+22+…+2k-1=2k-1 成立，
    则当n=k+1时，1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1，所以n=k+1时等式也成立，
    由（1）（2）知，对任意的正整数n等式都成立，
    判断以上评述

    [     ]

    A.命题、推理都正确
    B.命题正确、推理不正确
    C.命题不正确、推理正确
    D.命题、推理都不正确

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    已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点.

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）是否存过点（2,1）的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

    【解析】第一问利用设椭圆的方程为，由题意得

    解得

    第二问若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得

    ．

    因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

    所以

    所以．解得。

    解：⑴设椭圆的方程为，由题意得

    解得，故椭圆的方程为．……………………4分

    ⑵若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得

    ．

    因为直线与椭圆相交于不同的两点，设两点的坐标分别为，

    所以

    所以．

    又，

    因为，即，

    所以．

    即．

    所以，解得．

    因为A,B为不同的两点，所以k=1/2．

    于是存在直线L1满足条件，其方程为y=1/2x

     

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    一、选择题

    1-5 BBAB 文B理A  6-10 ADCBC 11-12文B理D A

    6.A 提示：设＝，则表示点与点（0，0）连线的斜率.当该直线kx－y＝0与圆相切时，取得最大值与最小值.圆心（2,0），由＝1，解得，∴的最大值为.11.(文) B 

    11.(文) A       提示：抛物线的焦点为F（1，0），作PA垂直于准线x＝－1，则

    ｜PA｜＝｜PF｜，当A、P、Q在同一条直线上时，

    ｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜＝｜AQ｜，

    此时，点P到Q点距离与抛物线焦点距离之和取得最小值，

    P点的纵坐标为－1，有1＝4x，x＝，此时P点坐标为（，－1），故选A。

    11.（理） B提示：设则

    又。

    12.A    提示:如右图所示,设点P的坐标为(x0,y0),由抛物线以F2为顶点,F1为焦点,可得其准线的方

    程为x＝3c, 根据抛物线的定义可得|PF1|＝|PR|＝3c－x0,又由点P为双曲线上的点,根据双曲线的第二定义可得＝e, 即得|PF2|＝ex0－a, 由已知a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，可得－a2＋3c2＝8a2,即e2＝3,由e＞1可得e＝, 故应选A.

    二、填空题：13-16文理    3   35

     

     

     

     

     

     

    九、实战演习

    一  选择题

    1．与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 （   ）

    A．2条          B.3条         C.4条        D.6条

    1.C提示： 在两坐标轴上截距相等的直线有两类：①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为，也有两条与已知圆相切.易知①、②中四条切线互不相同，故选C.

    2．在中，三内角所对的边是且成等差数列，那么直线与直线的位置关系是  （        ）

    A.平行        B.重合       C.垂直      D.相交但不垂直

    2.B提示：成等差数列，

    又，

    ，故两直线重合。选B。

    3.已知函数，集合，集合，则集合的面积是      

    A．             B．            C．            D．

    3.D提示： 集合即为：，集合即为： ，其面积等于半圆面积。

    4．（文）已知直线m：交x轴于M，E是直线m上的点，N(1，0)，又P在线段EN的垂直平分线上，且，则动点P的轨迹是(  )

    A．圆   B．椭圆   C．双曲线    D．抛物线

    4．（文）D．

    4．（理）已知P在双曲线上变动，O是坐标原点，F是双曲线的右焦点，则的重心G的轨迹方程是(  )

    A．    B．

    C．     D．

    4．（理）C．提示：双曲线焦点坐标是F(6，0)．设双曲线上任一点P(x0，y0)， 的重心G(x，y)，则由重心公式，

    得，解得，代入，得为所求．

    5.已知是三角形的一个内角，且，则方程表示（　　　）

    A.焦点在轴上的椭圆　　　　　B.焦点在轴上的椭圆

    C.焦点在轴上的双曲线　　　　D.焦点在轴上的双曲线

    5.B提示：由，又是三角形的一个内角，故，

    再由，

    结合解得

    。

    故方程表示焦点在轴上的椭圆。选B。

    或者结合单位圆中的三角函数线直接断定。

    6.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ 　　 ）

    A.有且仅有一条     B.有且仅有两条      C.有无穷多条      D.不存在

    6.B提示：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB的长为，故这样的直线有且仅有两条。选B。

    或者（1）当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2；

    （2）当该直线的斜率存在时，设该直线方程为，代入抛物线方程得

    ，由。故这样的直线有且仅有两条。

    7.一个椭圆中心在原点，焦点在轴上，（2，）是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆方程为　　　　　　　　　　　　（　　　）

    A.     B.    C.     D.

    7.A提示：设椭圆方程为，由成等差数列知，从而，故椭圆方程为，将P点的坐标代入得，故所求的椭圆方程为。选A。

    8.以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)为顶点的三角形形状为（  ）

    A .直角三角形  B. 等腰三角形   C.非等腰三角形三角形   D.等边三角形

    8. B.提示：由两点间距离公式，得，，故选B.

    9. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（　）

    A．，　  B．，   　　C．，　  D．，

    9.D提示：特别注意的题目。将直线代入双曲线方程得

    若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则应满足

    。选D。

    10. （文）设离心率为e的双曲线的右焦点为F，直线过点F且斜率为K，则直线与双曲线C左、右支都有相交的充要条件是（　　）

    Ａ．      Ｂ． 

    Ｃ．      Ｄ．

    10. （理）已知两个点M（-5，0）和N（5，0），若直线上存在点P，使|PM|-|PN|=6，则称该直线为“B型直线”。给出下列直线①②③④。其中属于“B型直线”的是（      ）

    A、①③    B、①②     C、③④     D、①④

    10. （文）C  提示：由已知设渐近线的斜率为于是

    ，即故选C；

    10. （理）B 提示：理解为以M、N为焦点的双曲线，则c=5, 又|PM|-|PN|=6，则a=3,b=4,几何意义是双曲线的右支，所谓“B型直线”即直线与双曲线的右支有交点，又渐近线为：，逐一分析，只有①②与双曲线右支有交点，故选B；

    11.已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在双曲线上，且，则此双曲线的离心率的最大值为   （   ）

    A、      B、     C、     D、2

    11.B提示：，由    又

    ∴ 故选B项。

    12．若AB过椭圆 ＋ =1 中心的弦, F1为椭圆的焦点, 则△F1AB面积的最大值为(    ) 

    A. 6   B.12   C.24   D.48

    12.B提示：设AB的方程为，代入椭圆方程得，。选B。

    二  填空题

    13.椭圆M：=1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且 的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中. 则椭圆M的离心率e的取值范围是         

    13.

    14. 1.1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星.卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km，远地点为  n km，地球的半径为R km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于         

               

    14. 2提示：  －c=m+R， +c=n+R，

    ∴c=，b=2=2.

    15. 已知与曲线C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线交x、y轴于A、B两点，O为原点，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，线段AB中点的轨迹方程是                               。

    15. 提示：满足(a-2)(b-2)=2。设AB的中点坐标为(x,y), 则a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= (x>1,y>1)。

        16．以下四个关于圆锥曲线的命题中

    ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

    ②过定圆C上一定点A作该圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点的轨迹为椭圆；③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

    ④双曲线有相同的焦点.

    其中真命题的序号为                 （写出所有真命题的序号）

    16. ③、④

    三  解答题（７４分）

    17. （本小题满分12分）已知，直线：和圆：．

    （1）求直线斜率的取值范围；

    （2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？

    解析：（1）直线的方程可化为，直线的斜率，因为，所以，当且仅当时等号成立．

    所以，斜率的取值范围是．

    （2）不能．由（1）知的方程为，其中．

    圆的圆心为，半径．圆心到直线的距离．

    由，得，即．从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于．所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧．

    18. （本小题满分12分）已知A、B分别是椭圆的左右两个焦点，O为坐标原点，点P）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求的值

    18.解：（1）由题意知：

    ∴椭圆的标准方程为=1.        

    （2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点，

    ∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2 .   

    在△ABC中，由正弦定理，  ，

    ∴＝ .       

    19．（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点,离心率为,一个焦点是(为大于0的常数).

     （1）求椭圆的方程;

     （2）设是椭圆上一点,且过点

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