如图，在四棱锥中，⊥底面，底面为正方形，，，分别是，的中点．

（I）求证：平面；

（II）求证：；

（III）设PD=AD=a, 求三棱锥B-EFC的体积.

【解析】第一问利用线面平行的判定定理，，得到

第二问中，利用，所以

又因为，，从而得

第三问中，借助于等体积法来求解三棱锥B-EFC的体积.

（Ⅰ）证明： 分别是的中点，    

，．       …4分

（Ⅱ）证明：四边形为正方形，．

， ．

， ，

．，．    ………8分

（Ⅲ）解：连接AC,DB相交于O,连接OF, 则OF⊥面ABCD,

∴

如图所示的长方体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，是线段的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，以及二面角的求解的运用。中利用，又平面，平面，∴平面由，，又，∴平面． 可得证明

（3）因为∴为面的法向量．∵，，

∴为平面的法向量．∴利用法向量的夹角公式，，

∴与的夹角为，即二面角的大小为．

方法一：解:（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接，则点、，

∴，又点，，∴

∴，且与不共线，∴．

又平面，平面，∴平面．…………………4分

（Ⅱ）∵，

∴，，即，，

又，∴平面．   ………8分

（Ⅲ）∵，，∴平面，

∴为面的法向量．∵，，

∴为平面的法向量．∴，

∴与的夹角为，即二面角的大小为

如图，四棱锥S—ABCD中，SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的三等分点，SE=2EB

(Ⅰ)证明：平面EDC⊥平面SBC.(Ⅱ)求二面角A—DE—C的大小                .

【解析】本试题主要考查了立体几何中的运用。

(1)证明：因为SD⊥底面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的三等分点，SE=2EB   所以ED⊥BS,DE⊥EC,所以ED⊥平面SBC.，因此可知得到平面EDC⊥平面SBC.

（Ⅱ）由SA²= SD²+AD² = 5 ，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知

AE²= (1 /3 SA)²+(2/ 3 AB)² =1，又AD=1．

故△ADE为等腰三角形．

取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF²= AD²-DF² =．

连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．

所以，∠AFG是二面角A-DE-C的平面角．

连接AG，AG= 2 ，FG²= DG²-DF² =，

cos∠AFG=(AF²+FG²-AG² )/2⋅AF⋅FG =-1 /2 ，

所以，二面角A-DE-C的大小为120°

三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

【解析】第一问利连结，，∵M,N是AB，的中点∴MN//．

又∵平面，∴MN//平面．      ----------4分

⑵中年∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∴四边形是正方形．∴．∴．连结，．

∴，又N中的中点，∴．

∵与相交于点C，∴MN平面．      --------------9分

⑶中由⑵知MN是三棱锥M-的高．在直角中，，

∴MN=．又．．得到结论。

⑴连结，，∵M,N是AB，的中点∴MN//．

又∵平面，∴MN//平面．   --------4分

⑵∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，

∴四边形是正方形．∴．

∴．连结，．

∴，又N中的中点，∴．

∵与相交于点C，∴MN平面．      --------------9分

⑶由⑵知MN是三棱锥M-的高．在直角中，，

∴MN=．又．

如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面平面.

（Ⅰ）求证：点为棱的中点；

（Ⅱ）判断四棱锥和的体积是否相等，并证明。

【解析】本试题主要考查了立体几何中的体积问题的运用。第一问中，

易知，面。由此知：从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点.

（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D为BB₁中点，可以得证。

（1）过点作于点，取的中点，连。面面且相交于，面内的直线，面。……3分

又面面且相交于，且为等腰三角形，易知，面。由此知：，从而有共面，又易知面，故有从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点.               …6分

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD=1 /3 S_B1C1CD•A₁B₁=1/ 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD=1 /3 S_A1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D为BB₁中点，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD