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    (3) 当时.求证: 南京市2009届高三第一次调研试数学附加题 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数

    （1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；

    （2）当时，求在上的最大值和最小值；

    （3）当时，求证：对大于1的任意正整数，都有

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    已知数列{an}满足.

    （1）若方程的解称为函数的不动点，求的不动点的值；

    （2）若，，求数列{n}的通项．

    （3）当时，求证：

     

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    （本小题满分12分）

    已知函数

    （1）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；

    （2）当时，求在上的最大值和最小值；

    （3） 当时，求证：对大于1的任意正整数，都有。

     

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    (本小题满分16分)

    按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为元，如果他卖出该产品的单价为元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，则他对这两种交易的综合满意度为.

    现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为

    (1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；

    (2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？ (3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适当选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。

     

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    已知，直线与函数的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1．  

    （1）求直线的方程及的值；

    （2）若（其中是的导函数），求函数的最大值；

    （3）当时，求证：．

     

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    一、填空

    1、；2、；3、；4、；5、；6、5；7、；8、；9、；

    10、；11、；12、；13、；14、。

    二、解答题

       1`5、（本题满分14分）

    解：（1）（设“该队员只属于一支球队的”为事件A，则事件A的概率

             

    （2）设“该队员最多属于两支球队的”为事件B，则事件B的概率为

    答：（略）

    16、（本题满分14分）

    解：（1）连，四边形菱形   ，

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      为的中点，

    又

                   ，

                       

    （2）当时，使得，连交于，交于，则为 的中点，又为边上中线，为正三角形的中心，令菱形的边长为，则，。

               

           

       即：   。

    17、解：

    （1）

              ，

           

            在区间上的值域为

         （2）    ，

                     

               ，

          

          

           

           

    18、解：（1）依题意，得：，。

              抛物线标准方程为：

          （2）设圆心的坐标为，半径为。

            圆心在轴上截得的弦长为

             

            圆心的方程为：

          从而变为：      ①

    对于任意的，方程①均成立。

    故有：     解得：

          所以，圆过定点（2，0）。

    19、解（1）当时，

             令  得 所以切点为（1，2），切线的斜率为1，

          所以曲线在处的切线方程为：。

       （2）①当时，，

          ，恒成立。 在上增函数。

    故当时，

    ②  当时，，

    （）

    （i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时

    (ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数

    故当时，，且此时

    (iii)当；即 时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，故当时，。

    综上所述，当时，在时和时的最小值都是。

    所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为

    ，而，

    所以此时的最小值为。

    当时，在时最小值为，在时的最小值为，

    而，所以此时的最小值为

    所以函数的最小值为

    20、解：（1）设数列的公差为，则，，

         依题得：，对恒成立。

    即：，对恒成立。

    所以，即：或

    ，故的值为2。

    （2）

       

      所以，

    ①     当为奇数，且时，。

      相乘得所以 当也符合。

    ②     当为偶数，且时，，

    相乘得所以

    ，所以 。因此 ，当时也符合。

    所以数列的通项公式为。

    当为偶数时，

      

    当为奇数时，为偶数，

     

     

    所以 

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    南京市2009届高三第一次调研试

    数学附加题参考答案

     

    21、选做题

         .选修：几何证明选讲

     证明：因为切⊙O于点，所以

           因为，所以

      又A、B、C、D四点共圆，所以 所以

     又，所以∽

    所以   即

    所以    即：

    B.选修4-2：矩阵与变换

    解:由题设得,设是直线上任意一点,

    点在矩阵对应的变换作用下变为,

    则有, 即 ,所以

    因为点在直线上,从而,即：

    所以曲线的方程为 

    C.选修4-4;坐标系与参数方程

    解： 直线的参数方程为 为参数）故直线的普通方程为

       因为为椭圆上任意点，故可设其中。

      因此点到直线的距离是

    所以当，时，取得最大值。

    D．选修4-5：不等式选讲

    证明：，所以 

          

    必做题：第22题、第23题每题10分，共20分。

    22、解：（1）设圆的半径为。

             因为圆与圆，所以

             所以，即：

            所以点的轨迹是以为焦点的椭圆且设椭圆方程为其中 ，所以

          所以曲线的方程

        （2）因为直线过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，

            因为，所以。

           不妨设点在轴上方，则。

    所以，，即：点的坐标为或

    所以直线的斜率为，故所求直线方和程为

    23、（1）当时，

          原等式变为

    令得 

      （2）因为  所以

          

     ①当时。左边=，右边

          左边=右边，等式成立。

    ②假设当时，等式成立，即

    那么，当时，

    左边

       右边。

    故当时，等式成立。

    综上①②，当时，

     

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