在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分．
A、如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求证：PE是⊙O的切线．
B、设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（2）求逆矩阵M^-1以及椭圆

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
C、已知某圆的极坐标方程为：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．
D、若关于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集为R，求实数a的取值范围．

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在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内 作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．
B．已知二阶矩阵A=

2 a b 0

属于特征值-1的一个特征向量为

1 -3

，求矩阵A的逆矩阵．

C．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，直线l的参数方程为

x=- 3 t y=1+t

（t为参数，t∈{R}）．试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值．
D．（1）设x是正数，求证：（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³；
（2）若x∈R，不等式（1+x）（1+x²）（1+x³）≥8x³是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

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在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：（几何证明选讲）
如图，从O外一点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，
AB与OP交于点M，设CD为过点M且不过圆心O的一条弦，
求证：O，C，P，D四点共圆．
B．选修4-2：（矩阵与变换）
已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量e₁=[

1 1

]，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（9，15），求矩阵M．
C．选修4-4：（坐标系与参数方程）
在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为p=2

2

sin（θ-

π

4

），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1+ 4 5 t y=-1- 3 5 t

（t为参数），求直线l被曲线C所截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知实数x，y，z满足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

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在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D．
求证：∠DAP=∠BAP．
B．选修4-2：矩阵与变换
设a＞0，b＞0，若矩阵A=

.

a 0 0 b

.

把圆C：x²+y²=1变换为椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A^-1
C．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C：ρ=4cosθ被直线l：ρsin（θ-\frac{π}{6}）=a截得的弦长为2

3

求实数a的值．
D．选修4-5：不等式选讲已知a，b是正数，求证：a²+4b²+

1

ab

≥4．

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一、填空

1、；2、；3、；4、；5、；6、5；7、；8、；9、；

10、；11、；12、；13、；14、。

二、解答题

   1`5、（本题满分14分）

解：（1）（设“该队员只属于一支球队的”为事件A，则事件A的概率

（2）设“该队员最多属于两支球队的”为事件B，则事件B的概率为

答：（略）

16、（本题满分14分）

解：（1）连，四边形菱形   ，

  为的中点，

又

               ，

（2）当时，使得，连交于，交于，则为 的中点，又为边上中线，为正三角形的中心，令菱形的边长为，则，。

   即：   。

17、解：

（1）

          ，

        在区间上的值域为

     （2）    ，

           ，

18、解：（1）依题意，得：，。

          抛物线标准方程为：

      （2）设圆心的坐标为，半径为。

        圆心在轴上截得的弦长为

        圆心的方程为：

      从而变为：      ①

对于任意的，方程①均成立。

故有：     解得：

      所以，圆过定点（2，0）。

19、解（1）当时，

         令  得 所以切点为（1，2），切线的斜率为1，

      所以曲线在处的切线方程为：。

   （2）①当时，，

      ，恒成立。 在上增函数。

故当时，

②  当时，，

（）

（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时

(ii)当，即时，在时为负数，在间 时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数

故当时，，且此时

(iii)当；即 时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，故当时，。

综上所述，当时，在时和时的最小值都是。

所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为

，而，

所以此时的最小值为。

当时，在时最小值为，在时的最小值为，

而，所以此时的最小值为

所以函数的最小值为

20、解：（1）设数列的公差为，则，，

     依题得：，对恒成立。

即：，对恒成立。

所以，即：或

，故的值为2。

（2）

  所以，

①     当为奇数，且时，。

  相乘得所以 当也符合。

②     当为偶数，且时，，

相乘得所以

，所以 。因此 ，当时也符合。

所以数列的通项公式为。

当为偶数时，

当为奇数时，为偶数，

所以 

南京市2009届高三第一次调研试

数学附加题参考答案

21、选做题

     .选修：几何证明选讲

 证明：因为切⊙O于点，所以

       因为，所以

  又A、B、C、D四点共圆，所以 所以

 又，所以∽

所以   即

所以    即：

B.选修4-2：矩阵与变换

解:由题设得,设是直线上任意一点,

点在矩阵对应的变换作用下变为,

则有, 即 ,所以

因为点在直线上,从而,即：

所以曲线的方程为 

C.选修4-4;坐标系与参数方程

解： 直线的参数方程为 为参数）故直线的普通方程为

   因为为椭圆上任意点，故可设其中。

  因此点到直线的距离是

所以当，时，取得最大值。

D．选修4-5：不等式选讲

证明：，所以 

必做题：第22题、第23题每题10分，共20分。

22、解：（1）设圆的半径为。

         因为圆与圆，所以

         所以，即：

        所以点的轨迹是以为焦点的椭圆且设椭圆方程为其中 ，所以

      所以曲线的方程

    （2）因为直线过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，

        因为，所以。

       不妨设点在轴上方，则。

所以，，即：点的坐标为或

所以直线的斜率为，故所求直线方和程为

23、（1）当时，

      原等式变为

令得 

  （2）因为  所以

 ①当时。左边=，右边

      左边=右边，等式成立。

②假设当时，等式成立，即

那么，当时，

左边

   右边。

故当时，等式成立。

综上①②，当时，

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