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    1． 命题“R. 的否定是 ▲ ． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    命题“R，”的否定是            ．

     

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    命题“R，”的否定是           ．

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    命题“∈R，－x＋1≥0”的否定是（  ） 

    A．∈R，lnx＋x＋1＜0 B．∈R，－x＋1＜0
    C．∈R，－x＋1＞0 D．∈R，－x＋1≥0

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    命题“?x∈R，”的否定是     ．

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    命题“?x∈R，”的否定是     ．

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    必做题部分

    一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

    【填空题答案】

    1．R，;      2．3;           3．1；         4．5；         5．；

    6．2；       　          7．y=2x+3；     8．1.5；        9．；      10． ；

    11．充要；               12．－1；       13．；     14．2．

     

    二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

    15．（本小题满分14分）

    △ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，ｂ，ｃ．向量m =,

    n=满足m//n.

    （1）求的取值范围；

    （2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围.

    【解】(1)因为m//n，  所以，     ………………………2分

    因为三角形ABC的外接圆半径为1, 由正弦定理，得.

    于是.

    因为. 故三角形ABC为直角三角形.     ………………………5分

    , 因为，

    所以, 故.                   ………………………7分

    (2) .                      ………………………9分

    设，则，              …………………… 11分

    ，因为 ＜0，故在（1，]上单调递减函数.

    所以.所以实数x的取值范围是.                …………………… 14分

     

    16．（本小题满分14分）

    在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，

    平面PAD⊥平面ABCD.

    （1）求证：PA⊥平面ABCD；

    （2）若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？

    请说明理由.

    （1）【证明】因为∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.

    而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,

    所以AD⊥平面PAB,  所以AD⊥PA.         ………………3分              

    同理可得AB⊥PA.                         ………………5分

    由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=C,

    所以PA⊥平面ABCD.                                          ………………………7分

    （2）【解】（方法一）不平行.                                    ………………………9分

    证明：假定直线l∥平面ABCD,

    由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD,  所以∥CD.    …………………… 11分

    同理可得l∥AB, 所以AB∥CD.                                  …………………… 13分

    这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,

    故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行.                     …………………… 14分

    （方法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,

    所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T.                     …………………… 11分

    由TCD，CD平面PCD得T平面PCD.

    同理T平面PAB.                                             …………………… 13分

    即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.

    所以直线与平面ABCD不平行.                                 …………………… 14分

     

    17．（本小题满分15分）

    设a为实数，已知函数.

    （1）当a=1时，求函数的极值．

    （2）若方程=0有三个不等实数根，求a的取值范围．

    【解】(1)依题有，

    故.                                    ………………………2分

    由

    x

    0

    2

    +

    0

    －

    0

    +

    ㄊ

    极大值

    ㄋ

    极小值

    ㄊ

    ………………………5分

    得在时取得极大值，在时取得极小值.  …………7分

    (2) 因为，         ………………………9分

    所以方程的两根为a－1和a+1，

    显然，函数在x= a－1取得极大值，在x=a+1是取得极小值.      …………………… 11分

    因为方程=0有三个不等实根，

    所以 即 解得且.

    故a的取值范围是.                        …………………… 15分

     

    18．（本小题满分15分）

    如图，椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，

    且.

    （1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；

        （2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程.

    【解】（1）设椭圆的焦距为2c(c>0)，

    则其右准线方程为x＝，且F1(－c, 0),　F2(c, 0).　……………2分

    设M，

    则＝

    .                                ………………………4分

    因为，所以，即.

        于是，故∠MON为锐角.

    所以原点O在圆C外.                                        ………………………7分

        （2）因为椭圆的离心率为，所以a=2c，                      ………………………8分

        于是M ，且         ………………………9分

    MN2＝(y1－y2)2＝y12+y22－2y1y2.  …………………… 12分

    当且仅当 y1＝－y2＝或y2＝－y1＝时取“=”号，        …………………… 13分

    所以(MN)min= 2c＝2，于是c=1, 从而a＝2，b＝，

    故所求的椭圆方程是.                                …………………… 15分

     

    19．（本小题满分16分）

    下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为

    Aij.

    1     4     7     10    13    …

    4     8     12    16    20    …

    7     12    17    22    27    …

    10    16    22    28    34    …

    13    20    27    34    41    …

    …   …   …   …

    （1）证明：存在常数，对任意正整数i、j，总是合数；

    （2）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列. 试证不存在正整数k和m

    ，使得成等比数列；

    （3）对于（2）中的数列，是否存在正整数p和r ，使得成等差

    数列．若存在，写出的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．

           （1）【证明】因为第一行数组成的数列{A1j}(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，

    所以A1 j＝1+(j－1)×3＝3 j－2，

    第二行数组成的数列{A2j}(j＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列，

    所以A2 j＝4+(j－1)×4＝4 j．                             ………………………2分

    所以A2 j－A1 j＝4 j－(3 j－2)＝j＋2，

    所以第j列数组成的数列{ Aij}(i＝1,2，…)是以3 j－2为首项，公差为 j＋2的等差数列，

    所以Aij＝3 j－2＋(i－1) ×(j＋2) ＝ij＋2i＋2j－4

    ＝(i＋3) (j＋2) 8．                                  ……………5分

    故Aij＋8=(i＋3) (j＋2)是合数．

    所以当＝8时，对任意正整数i、j，总是合数      ………………………6分

    （2）【证明】(反证法)假设存在k、m，，使得成等比数列，

    即                                            ………………………7分

    ∵bn＝Ann ＝(n+2)2－4

    ∴

    得，

    即，       ………………………10分

    又∵，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3，

    ∴，这与∈Z矛盾，所以不存在正整数k和m，使得成等比数列．……………………12分

    （3）【解】假设存在满足条件的，那么

    即.                                  …………………… 14分

    不妨令 得

    所以存在使得成等差数列．                 …………………… 16分

    （注：第（3）问中数组不唯一，例如也可以）

     

    20．（本小题满分16分）

    如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.

    （1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：

    ①  f(x)＝ ；    ②  g(x)＝sinx (x∈(0，π)).

    （2）若函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.

    （1）【答】f(x)＝ 是保三角形函数，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.

    【证明】①  f(x)＝ 是保三角形函数.

    对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，

    f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .

    因为(＋)2＝a＋2＋b＞c＋2＞()2，所以＋＞.

    同理可以证明：＋＞，＋＞.

    所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x)＝ 是保三角形函数. ………………4分

    ②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个

    三角形的三条边的长. 而sin＝1，sin＝，不能作为一个三角形的三边长.

    所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.                     ………………………8分

    (2)【解】M的最小值为2.                                      …………………… 10分

    (i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数.

    对任意一个三角形三边长a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，

    则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.

    因为a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，

    即lna＋lnb＞lnc.

    同理可证明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.

    所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长.

    故函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函数.         …………………… 13分

    (ii)其次证明当0<M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函数.

    当0<M＜2时，取三个数M，M，M2∈［M，＋∞)，

    因为0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，

    而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，

    所以h(x)＝lnx 不是保三角形函数.                                                 

    所以，当M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函数.

    综上所述：M的最小值为2.                                     …………………… 16分

     

     

     

     

     

     

     

    附加题部分

    21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

    E.    选修4－1：几何证明选讲

    如图，PA切⊙O于点，D为的中点，过点D引

    割线交⊙O于、两点．求证: ．

    【证明】因为与圆相切于，

          所以，             ………………………2分

          因为D为PA中点，所以DP=DA，

    所以DP2=DB?DC，即 ． ………………………5分

    因为， 所以∽，                  ………………………8分

    所以．                                       …………………… 10分

     

    F.    选修4－2：矩阵与变换

    已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点变成了点，点变成了点

    ，求矩阵M.

    【解】设，                                        ………………………2分

    则由，，                   ………………………5分

    得                                              ………………………8分

    所以       因此.                         …………………… 10分

     

    G.    选修4－4：坐标系与参数方程

    在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C (2，)，半径R=，求圆C的极坐标方程.

    解法一：设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，则PC= R=.                  ……………………4分

            由余弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－)=5.                    ……………………8分

    化简，得ρ2－4ρcos(θ－)＋1=0，此即为所求的圆C的方程.    ……………………10分

    解法二：将圆心C (2，)化成直角坐标为(1，)，半径R=，        ……………………2分

         故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2=5.                            ……………………4分

         再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)2+(ρcosθ－)2=5.           ……………………6分

         化简，得ρ2－4ρcos(θ－)＋1=0 ，此即为所求的圆C的方程.       ……………………10分

     

    H.    选修4－5：不等式选讲

    已知，求证：.

    【证明】因为            ………………………3分

                     ………………………7分

        所以.

        故.                                             …………………… 10分

     

    22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

    投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示.

    纪念币

    A

    B

    C

    概  率

    a

    a

     

     

     

    将这三个纪念币同时投掷一次, 设表示出现正面向上的个数.

    （1）求的分布列及数学期望；

    （2）在概率(i=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求a的取值范围.

    【解】(1)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.

        ,

    , 

    ,

    .                                      ………………………4分

         所以的分布列为

    的数学期望为

    .      ………………………5分

    (2) ,

    ,

    .

    由和，得,即a的取值范围是.   …………………… 10分

    23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

    已知．用数学归纳法证明：.

    【证明】（1）当n=2时，左边－右边＝，不等式成立.

    ………………………2分

    （2）假设当n=k（）时，不等式成立，即

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