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必做题部分

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

【填空题答案】

1．R，;      2．3;           3．1；         4．5；         5．；

6．2；       　          7．y=2x+3；     8．1.5；        9．；      10． ；

11．充要；               12．－1；       13．；     14．2．

二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，ｂ，ｃ．向量m =,

n=满足m//n.

（1）求的取值范围；

（2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围.

【解】(1)因为m//n，  所以，     ………………………2分

因为三角形ABC的外接圆半径为1, 由正弦定理，得.

于是.

因为. 故三角形ABC为直角三角形.     ………………………5分

, 因为，

所以, 故.                   ………………………7分

(2) .                      ………………………9分

设，则，              …………………… 11分

，因为 ＜0，故在（1，]上单调递减函数.

所以.所以实数x的取值范围是.                …………………… 14分

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABCD，

平面PAD⊥平面ABCD.

（1）求证：PA⊥平面ABCD；

（2）若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？

请说明理由.

（1）【证明】因为∠ABC=90°，AD∥BC，所以AD⊥AB.

而平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,

所以AD⊥平面PAB,  所以AD⊥PA.         ………………3分              

同理可得AB⊥PA.                         ………………5分

由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=C,

所以PA⊥平面ABCD.                                          ………………………7分

（2）【解】（方法一）不平行.                                    ………………………9分

证明：假定直线l∥平面ABCD,

由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD,  所以∥CD.    …………………… 11分

同理可得l∥AB, 所以AB∥CD.                                  …………………… 13分

这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,

故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行.                     …………………… 14分

（方法二）因为梯形ABCD中AD∥BC,

所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T.                     …………………… 11分

由TCD，CD平面PCD得T平面PCD.

同理T平面PAB.                                             …………………… 13分

即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.

所以直线与平面ABCD不平行.                                 …………………… 14分

17．（本小题满分15分）

设a为实数，已知函数.

（1）当a=1时，求函数的极值．

（2）若方程=0有三个不等实数根，求a的取值范围．

【解】(1)依题有，

故.                                    ………………………2分

由

x

0

2

+

0

－

0

+

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

………………………5分

得在时取得极大值，在时取得极小值.  …………7分

(2) 因为，         ………………………9分

所以方程的两根为a－1和a+1，

显然，函数在x= a－1取得极大值，在x=a+1是取得极小值.      …………………… 11分

因为方程=0有三个不等实根，

所以 即 解得且.

故a的取值范围是.                        …………………… 15分

18．（本小题满分15分）

如图，椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，M、N是椭圆右准线上的两个动点，

且.

（1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系；

    （2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程.

【解】（1）设椭圆的焦距为2c(c>0)，

则其右准线方程为x＝，且F₁(－c, 0),　F₂(c, 0).　……………2分

设M，

则＝

.                                ………………………4分

因为，所以，即.

    于是，故∠MON为锐角.

所以原点O在圆C外.                                        ………………………7分

    （2）因为椭圆的离心率为，所以a=2c，                      ………………………8分

    于是M ，且         ………………………9分

MN²＝(y₁－y₂)²＝y₁²+y₂²－2y₁y₂.  …………………… 12分

当且仅当 y₁＝－y₂＝或y₂＝－y₁＝时取“=”号，        …………………… 13分

所以(MN)_min= 2c＝2，于是c=1, 从而a＝2，b＝，

故所求的椭圆方程是.                                …………………… 15分

19．（本小题满分16分）

下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S．其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为

A_ij.

1     4     7     10    13    …

4     8     12    16    20    …

7     12    17    22    27    …

10    16    22    28    34    …

13    20    27    34    41    …

…   …   …   …

（1）证明：存在常数，对任意正整数i、j，总是合数；

（2）设 S中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列. 试证不存在正整数k和m

，使得成等比数列；

（3）对于（2）中的数列，是否存在正整数p和r ，使得成等差

数列．若存在，写出的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．

       （1）【证明】因为第一行数组成的数列{A_1j}(j=1,2，…)是以1为首项，公差为3的等差数列，

所以A_{1 j}＝1+(j－1)×3＝3 j－2，

第二行数组成的数列{A_2j}(j＝1,2，…)是以4为首项，公差为4的等差数列，

所以A_{2 j}＝4+(j－1)×4＝4 j．                             ………………………2分

所以A_{2 j}－A_{1 j}＝4 j－(3 j－2)＝j＋2，

所以第j列数组成的数列{ A_ij}(i＝1,2，…)是以3 j－2为首项，公差为 j＋2的等差数列，

所以A_ij＝3 j－2＋(i－1) ×(j＋2) ＝ij＋2i＋2j－4

＝(i＋3) (j＋2) 8．                                  ……………5分

故A_ij＋8=(i＋3) (j＋2)是合数．

所以当＝8时，对任意正整数i、j，总是合数      ………………………6分

（2）【证明】(反证法)假设存在k、m，，使得成等比数列，

即                                            ………………………7分

∵b_n＝A_nn ＝(n+2)²－4

∴

得，

即，       ………………………10分

又∵，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3，

∴，这与∈Z矛盾，所以不存在正整数k和m，使得成等比数列．……………………12分

（3）【解】假设存在满足条件的，那么

即.                                  …………………… 14分

不妨令 得

所以存在使得成等差数列．                 …………………… 16分

（注：第（3）问中数组不唯一，例如也可以）

20．（本小题满分16分）

如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.

（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：

①  f(x)＝ ；    ②  g(x)＝sinx (x∈(0，π)).

（2）若函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.

（1）【答】f(x)＝ 是保三角形函数，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.

【证明】①  f(x)＝ 是保三角形函数.

对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，

f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .

因为(＋)²＝a＋2＋b＞c＋2＞()²，所以＋＞.

同理可以证明：＋＞，＋＞.

所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x)＝ 是保三角形函数. ………………4分

②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个

三角形的三条边的长. 而sin＝1，sin＝，不能作为一个三角形的三边长.

所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.                     ………………………8分

(2)【解】M的最小值为2.                                      …………………… 10分

(i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数.

对任意一个三角形三边长a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，

则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.

因为a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，

即lna＋lnb＞lnc.

同理可证明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.

所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长.

故函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函数.         …………………… 13分

(ii)其次证明当0<M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函数.

当0<M＜2时，取三个数M，M，M²∈［M，＋∞)，

因为0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M²，所以M，M，M²是某个三角形的三条边长，

而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM²，所以lnM，lnM，lnM²不能为某个三角形的三边长，

所以h(x)＝lnx 不是保三角形函数.                                                 

所以，当M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函数.

综上所述：M的最小值为2.                                     …………………… 16分

附加题部分

21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分．请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

E.    选修4－1：几何证明选讲

如图，PA切⊙O于点，D为的中点，过点D引

割线交⊙O于、两点．求证: ．

【证明】因为与圆相切于，

      所以，             ………………………2分

      因为D为PA中点，所以DP=DA，

所以DP²=DB?DC，即 ． ………………………5分

因为， 所以∽，                  ………………………8分

所以．                                       …………………… 10分

F.    选修4－2：矩阵与变换

已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点变成了点，点变成了点

，求矩阵M.

【解】设，                                        ………………………2分

则由，，                   ………………………5分

得                                              ………………………8分

所以       因此.                         …………………… 10分

G.    选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C (2，)，半径R=，求圆C的极坐标方程.

解法一：设P(ρ，θ)是圆上的任意一点，则PC= R=.                  ……………………4分

        由余弦定理，得ρ²+2²－2×2×ρcos(θ－)=5.                    ……………………8分

化简，得ρ²－4ρcos(θ－)＋1=0，此即为所求的圆C的方程.    ……………………10分

解法二：将圆心C (2，)化成直角坐标为(1，)，半径R=，        ……………………2分

     故圆C的方程为(x－1)²＋(y－)²=5.                            ……………………4分

     再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)²+(ρcosθ－)²=5.           ……………………6分

     化简，得ρ²－4ρcos(θ－)＋1=0 ，此即为所求的圆C的方程.       ……………………10分

H.    选修4－5：不等式选讲

已知，求证：.

【证明】因为            ………………………3分

                 ………………………7分

    所以.

    故.                                             …………………… 10分

22. 必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示.

纪念币

A

B

C

概  率

a

a

将这三个纪念币同时投掷一次, 设表示出现正面向上的个数.

（1）求的分布列及数学期望；

（2）在概率(i=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求a的取值范围.

【解】(1)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.

    ,

, 

,

.                                      ………………………4分

     所以的分布列为

的数学期望为

.      ………………………5分

(2) ,

,

.

由和，得,即a的取值范围是.   …………………… 10分

23．必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知．用数学归纳法证明：.

【证明】（1）当n=2时，左边－右边＝，不等式成立.

………………………2分

（2）假设当n=k（）时，不等式成立，即