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已知点，动点N（x，y），设直线NP，NQ的斜率分别记为k₁，k₂，记（其中“?”可以是四则运算加、减、乘、除中的任意一种运算），坐标原点为O，点M（2，1）．
（Ⅰ）探求动点N的轨迹方程；
（Ⅱ）若“?”表示乘法，动点N的轨迹再加上P，Q两点记为曲线C，直线l平行于直线OM，且与曲线C交于A，B两个不同的点．
（ⅰ）若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求出直线l在y轴上的截距m的取值范围．
（ⅱ）试求出△AOB面积的最大值及此时直线l的方程．

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1．1   2．    3．    4．－8    5．   6．20         7．

8．1   9．0     10．    11．   12．     13．   14．（1005，1004）

15.⑴ ∵ ，……………………………… 2分

又∵ ，∴ 而为斜三角形，

∵，∴.   ……………………………………………………………… 4分

∵，∴ .  …………………………………………………… 6分

⑵∵，∴ …12分

即，∵，∴.…………………………………14分

16．⑴∵平面，平面，所以，…2分

∵是菱形，∴，又，

∴平面，……………………………………………………4分

又∵平面，∴平面平面．  ……………………………………6分

⑵取中点，连接,则，

∵是菱形，∴，

∵为的中点，∴，………………10分

∴．

∴四边形是平行四边形，∴，………………12分

又∵平面，平面．

∴平面．     ………………………………………………………………14分

17.（1）∵直线过点，且与圆：相切，

设直线的方程为，即，　…………………………2分

则圆心到直线的距离为，解得，

∴直线的方程为，即． …… …………………4分

（2）对于圆方程,令，得,即．又直线过点且与轴垂直，∴直线方程为，设，则直线方程为

解方程组,得同理可得,……………… 10分

∴以为直径的圆的方程为，

又，∴整理得，……………………… 12分

若圆经过定点，只需令，从而有，解得，

∴圆总经过定点坐标为． …………………………………………… 14分

18．⑴因为当时，，所以， ……4分

∴   ………………………………………………………6分

⑵设每小时通过的车辆为，则．即 ……12分

∵，…………………………………………………14分

∴，当且仅当，即时，取最大值．

答：当时，大桥每小时通过的车辆最多．………16分

19.（1）由，得

∴b、c所满足的关系式为．……………………2分

（2）由，，可得．

方程，即，可化为，

令，则由题意可得，在上有唯一解，…4分

令，由，可得，

当时，由，可知是增函数；

当时，由，可知是减函数．故当时，取极大值．………6分

由函数的图象可知，当或时，方程有且仅有一个正实数解．

故所求的取值范围是或．  ……………………………………………8分

（3）由，，可得．由且且且．…10分

当时， ；当时，；

当时（），；当时，且；

当时，∪． ………………………16分

注：可直接通过研究函数与的图象来解决问题．

20．（1）由，且等差数列的公差为，可知，

若插入的一个数在之间，则，，

消去可得，其正根为． ………………………………2分

若插入的一个数在之间，则，，

消去可得，此方程无正根．故所求公差．………4分

（2）设在之间插入个数，在之间插入个数，则，在等比数列中，

∵，…，，

∴……   ………………8分

又∵，，都为奇数，∴可以为正数，也可以为负数．

①若为正数，则…，所插入个数的积为；

②若为负数，…中共有个负数，

当是奇数，即N^*)时，所插入个数的积为；

当是偶数，即N^*）时，所插入个数的积为．

综上所述，当N^*)时，所插入个数的积为；

当N^*）时，所插入个数的积为．…………10分

注：可先将…用和表示，然后再利用条件消去进行求解．

（3）∵在等比数列，由，可得，同理可得，

∴，即， …………………………12分

假设是有理数，若为整数，∵是正数，且，∴，

在中，∵是的倍数，故1也是的倍数，矛盾．

若不是整数，可设（其中为互素的整数，），

则有，即，

∵，可得，∴是x的倍数，即是x的倍数，矛盾．

∴ 是无理数．……………………………………16分