题目列表(包括答案和解析)
已知是公差为d的等差数列,是公比为q的等比数列
(Ⅰ)若 ,是否存在,有?请说明理由;
(Ⅱ)若(a、q为常数,且aq0)对任意m存在k,有,试求a、q满足的充要条件;
(Ⅲ)若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项,请证明.
【解析】第一问中,由得,整理后,可得、,为整数不存在、,使等式成立。
(2)中当时,则
即,其中是大于等于的整数
反之当时,其中是大于等于的整数,则,
显然,其中
、满足的充要条件是,其中是大于等于的整数
(3)中设当为偶数时,式左边为偶数,右边为奇数,
当为偶数时,式不成立。由式得,整理
当时,符合题意。当,为奇数时,
结合二项式定理得到结论。
解(1)由得,整理后,可得、,为整数不存在、,使等式成立。
(2)当时,则即,其中是大于等于的整数反之当时,其中是大于等于的整数,则,
显然,其中
、满足的充要条件是,其中是大于等于的整数
(3)设当为偶数时,式左边为偶数,右边为奇数,
当为偶数时,式不成立。由式得,整理
当时,符合题意。当,为奇数时,
由,得
当为奇数时,此时,一定有和使上式一定成立。当为奇数时,命题都成立
已知是公差为d的等差数列,是公比为q的等比数列
(1)若 ,是否存在,有?请说明理由;
(2)若(a、q为常数,且aq0)对任意m存在k,有,试求a、q满足的充要条件;
(3)若试确定所有的p,使数列中存在某个连续p项的和式数列中的一项,请证明.
1.1 2. 3. 4.-8 5. 6.20 7.
8.1 9.0 10. 11. 12. 13. 14.(1005,1004)
15.⑴ ∵ ,……………………………… 2分
又∵ ,∴ 而为斜三角形,
∵,∴. ……………………………………………………………… 4分
∵,∴ . …………………………………………………… 6分
⑵∵,∴ …12分
即,∵,∴.…………………………………14分
16.⑴∵平面,平面,所以,…2分
∵是菱形,∴,又,
∴平面,……………………………………………………4分
又∵平面,∴平面平面. ……………………………………6分
⑵取中点,连接,则,
∵是菱形,∴,
∵为的中点,∴,………………10分
∴.
∴四边形是平行四边形,∴,………………12分
又∵平面,平面.
∴平面. ………………………………………………………………14分
17.(1)∵直线过点,且与圆:相切,
设直线的方程为,即, …………………………2分
则圆心到直线的距离为,解得,
∴直线的方程为,即. …… …………………4分
(2)对于圆方程,令,得,即.又直线过点且与轴垂直,∴直线方程为,设,则直线方程为
解方程组,得同理可得,……………… 10分
∴以为直径的圆的方程为,
又,∴整理得,……………………… 12分
若圆经过定点,只需令,从而有,解得,
∴圆总经过定点坐标为. …………………………………………… 14分
18.⑴因为当时,,所以, ……4分
∴ ………………………………………………………6分
⑵设每小时通过的车辆为,则.即 ……12分
∵,…………………………………………………14分
∴,当且仅当,即时,取最大值.
答:当时,大桥每小时通过的车辆最多.………16分
19.(1)由,得
∴b、c所满足的关系式为.……………………2分
(2)由,,可得.
方程,即,可化为,
令,则由题意可得,在上有唯一解,…4分
令,由,可得,
当时,由,可知是增函数;
当时,由,可知是减函数.故当时,取极大值.………6分
由函数的图象可知,当或时,方程有且仅有一个正实数解.
故所求的取值范围是或. ……………………………………………8分
(3)由,,可得.由且且且.…10分
当时, ;当时,;
当时(),;当时,且;
当时,∪. ………………………16分
注:可直接通过研究函数与的图象来解决问题.
20.(1)由,且等差数列的公差为,可知,
若插入的一个数在之间,则,,
消去可得,其正根为. ………………………………2分
若插入的一个数在之间,则,,
消去可得,此方程无正根.故所求公差.………4分
(2)设在之间插入个数,在之间插入个数,则,在等比数列中,
∵,…,,
∴…… ………………8分
又∵,,都为奇数,∴可以为正数,也可以为负数.
①若为正数,则…,所插入个数的积为;
②若为负数,…中共有个负数,
当是奇数,即N*)时,所插入个数的积为;
当是偶数,即N*)时,所插入个数的积为.
综上所述,当N*)时,所插入个数的积为;
当N*)时,所插入个数的积为.…………10分
注:可先将…用和表示,然后再利用条件消去进行求解.
(3)∵在等比数列,由,可得,同理可得,
∴,即, …………………………12分
假设是有理数,若为整数,∵是正数,且,∴,
在中,∵是的倍数,故1也是的倍数,矛盾.
若不是整数,可设(其中为互素的整数,),
则有,即,
∵,可得,∴是x的倍数,即是x的倍数,矛盾.
∴ 是无理数.……………………………………16分
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