题目列表(包括答案和解析)
(09年湖北八校联考文)(13分)过轴上动点引抛物线的两条切线,,,为切点.
(Ⅰ)若切线,的斜率分别为和,求证:为定值,并求出定值.
(Ⅱ) 求证:直线恒过定点,并求出定点坐标.
(Ⅲ)当最小时,求的值.
(本小题满分14分)
过轴上动点引抛物线的两条切线、,、为切点,设切线,的斜率分别为和.
(1)求证:;
(2) 试问:直线是否经过定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
本小题满分14分)
过轴上动点引抛物线的两条切线、,、为切点,设切线、的斜率分别为和.
(1)求证:;
(2)求证:直线恒过定点,并求出此定点坐标;
(3)设的面积为,当最小时,求的值.
(本小题满分14分)过轴上动点引抛物线的两条切线、,、为切点,设切线,的斜率分别为和.
(1)求证:;
(2) 试问:直线是否经过定点?若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
(本小题满分14分)过轴上动点引抛物线的两条切线、,、为切点,设切线、的斜率分别为和.
(1)求证:;
(2)求证:直线恒过定点,并求出此定点坐标;
(3)设的面积为,当最小时,求的值.
一、
二、11.210 12. 13.2 14. 15. 或或
三.解答题:
16. 解:(1)
……………………………………………………………3分
由题意得周期,故…………………………………………4分
又图象过点,所以
即,而,所以
∴……………………………………………………6分
(2)当时,
∴当时,即时,是减函数
当时,即时,是增函数
∴函数的单调减区间是,单调增区间是………………12分
17.解:记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件、、,则,且有,即
∴……………………………………………………………………6分
(2)由(1),.
则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为:
……………………12分
18. 解法一 公理化法
(1)当时,取的中点,连接,因为为正三角形,则,由于为的中点时,
∵平面,∴平面,∴.………………………………………………4分
(2)当时,过作于,如图所示,则底面,过作于,连结,则,为二面角的平面角,
又,
又,
,即二面角的大小为.…………………………………………………8分
(3)设到面的距离为,则,平面,
即为点到平面的距离,
又,
即解得,
即到平面的距离为.…………………………………………………………………………12分
解法二 向量法
以为原点,为轴,过点与垂直的直线为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
设,则
(1)由得,
则,
,………………………………4分
(2)当时,点的坐标是
设平面的一个法向量,则即
取,则,
又平面的一个法向量为
又由于二面角是一个锐角,则二面角的大小是.……………………8分
(3)设到面的距离为,
则
到平面的距离为.………………………………………………………………………12分
19. 解:(Ⅰ)由于,
故在点处的切线方程是…………………………………………2分
即,故与表示同一条直线,
,即,,.……6分
(Ⅱ) 由于,
则或,所以函数的单调区间是,…………………………8分
故或或
或或,或或
实数的取值范围是.………………………………………………………12分
20. 解:(Ⅰ)设过与抛物线的相切的直线的斜率是,
则该切线的方程为:
由得
,
则都是方程的解,故………………………………………………4分
(Ⅱ)设
由于,故切线的方程是:,又由于点在上,则
则,
,同理
则直线的方程是,则直线过定点.………………………………………8分
(Ⅲ)要使最小,就是使得到直线的距离最小,
而到直线的距离,当且仅当即时取等号.………………………………………………………………10分
设
由得,则
.…………13分
21. 解:(Ⅰ)由题意知即……1分
…………3分
检验知时,结论也成立
故.………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ) ①由于
故 ………………………………………………9分
②若,其中,则有,则,
故,
取(其中表示不超过的最大整数),则当时,. ………………………………………………………14分
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