设常数a≥0，函数f（x）=x-ln²x+2alnx-1
（1）令g（x）=xf'（x）（x＞0），求g（x）的最小值，并比较g（x）的最小值与0的大小；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求证：当x＞1时，恒有x＞ln²x-2alnx+1．

20080428

三、17、解：

（1）

       ∵相邻两对称轴的距离为

   （2）

       ，

       又

       若对任意，恒有

       解得

18、（理）解  用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝.

（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是

（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.

              ＝

              ＝

              =

              =

所以， 的分布列是

0

1

2

3

P

的期望

（文）解  基本事件共有6×6=36个.　 (Ⅰ) 是5的倍数包含以下基本事件： (1, 4) (4, 1) (2, 3) (3, 2)  (4, 6) (6, 4) (5, 5)共7个.所以，是5的倍数的概率是 .

（Ⅱ）是3的倍数包含的基本事件（如图）

共20个，所以，是3的倍数的概率是.

（Ⅲ）此事件的对立事件是都不是5或6，其基本事件有个，所以，中至少有一个5或6的概率是.

19、证明：（1）∵

∴                                         

（2）令中点为，中点为，连结、

     ∵是的中位线

∴              

又∵

∴

∴    

     ∴

     ∵为正

∴       

     ∴

     又∵，

 ∴四边形为平行四边形   

∴

∴  

20、解：（1）由及，得：

     （2）由             ①

          得         ②

      由②―①，得  

       即：

      由于数列各项均为正数，

         即 

      数列是首项为，公差为的等差数列，

      数列的通项公式是  

    （3）由，得：

21、解（1）由题意的中垂线方程分别为，

于是圆心坐标为

=＞，即   ＞即＞所以＞ ，

于是＞ 即＞ ，所以＜  即 ＜＜

（2）假设相切， 则，

， 这与＜＜矛盾.

故直线不能与圆相切.

22、(理)

（文）（1）f ′(x)＝3x²＋2a x＋b＝0．由题设，x＝1，x＝－为f ′(x)＝0的解．－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2．经检验得：这时与都是极值点．（2）f (x)＝x³－x²－2 x＋c，由f (－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．∴f (x)＝x³－x²－2 x＋1．

x

（－∞，－）

（－，1）

（1，＋∞）

f ′(x)

＋

－

＋

∴  f (x)的递增区间为（－∞，－），及（1，＋∞），递减区间为（－，1）．当x＝－时，f (x)有极大值，f (－)＝；当x＝1时，f (x)有极小值，f (1)＝－．（3）由（1）得，f ′(x)＝(x－1)(3x＋2)，f (x)＝x³－x²－2 x＋c， f (x)在[－1，－及（1，2]上递增，在（－，1）递减．而f (－)＝－－＋＋c＝c＋．f (2)＝8－2－4＋c＝c＋2．∴  f (x)在[－1，2]上的最大值为c＋2．

∴  ∴  ∴   或∴  或．