题目列表(包括答案和解析)
(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分,第3小题满分2分.
设直线交椭圆于两点,交直线于点.
(1)若为的中点,求证:;
(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真;
(3)请你类比椭圆中(1)、(2)的结论,写出双曲线中类似性质的结论(不必证明).
(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分. 第3小题满分6分.
(理)已知椭圆的一个焦点为,点在椭圆上,点满足(其中为坐标原点),过点作一直线交椭圆于、两点 .
(1)求椭圆的方程;
(2)求面积的最大值;
(3)设点为点关于轴的对称点,判断与的位置关系,并说明理由.
(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分. 第3小题满分6分.
(文)已知椭圆的一个焦点为,点在椭圆上,点满足(其中为坐标原点), 过点作一斜率为的直线交椭圆于、两点(其中点在轴上方,点在轴下方) .
(1)求椭圆的方程;
(2)若,求的面积;
(3)设点为点关于轴的对称点,判断与的位置关系,并说明理由.
(本题共3小题,满分16分。第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题6分)
设数列的前项和为,若对任意的,有且成立.
(1)求、的值;
(2)求证:数列是等差数列,并写出其通项公式;
(3)设数列的前项和为,令,若对一切正整数,总有,求的取值范围.
(本题满分16分) 本题共有3个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分,第3小题满分2分.
设直线交椭圆于两点,交直线于点.
(1)若为的中点,求证:;
(2)写出上述命题的逆命题并证明此逆命题为真;
(3)请你类比椭圆中(1)、(2)的结论,写出双曲线中类似性质的结论(不必证明).
一、填空题
1. 2. 3.156 4. - 5.
6. 7. 8.(理) (文) 9.0
10. 11.(理) (文)
二、选择题
12.C 13.B 14.(理)C (文)B 15.B
三、解答题
16. 【解】(1)由已知:, (2分)
即, (4分)
∴,故。 (6分)
(2)由,得, (8分)
∴,。 (10分)
故。 (12分)
17.【解】
(理)设三次事件依次为,命中率分别为,
(1)令,则,∴,,。 (6分)
(2)。 (13分)
(文)抛物线的准线是, (3分)
双曲线的两条渐近线是。 (6分)
三条线为成得三角形区域的顶点为,,,(10分)
当时,。 (13分)
18.【解】(1),。(4分)
(2)令,,
,(8分)
即三位市民各获得140、100和110元折扣。(10分)
(3)(元)。(16分)
19.【解】(1)直线的法向量,的方程:,
即为;…(2分)
直线的法向量,的方程:,
即为。 (4分)
(2)。 (6分)
设点的坐标为,由,得。(8分)
由椭圆的定义的知存在两个定点,使得恒为定值4。
此时两个定点为椭圆的两个焦点。(10分)
(3)设,,则,,
由,得。(12分)
;
当且仅当或时,取最小值。(14分)
,故与平行。(16分)
20.【解】(1)由,得。由,得第二行的公差,,∴。(2分)
由,,得,∴。(4分)
(2);(6分)
。(10分)
(3),, 两式相减,得,。(12分)当时,。(13分)
①时,显然能被21整除;(14分)
②假设时,能被21整除,当时,
能被21整除。结论也成立。(17分)
由①、②可知,当是3的倍数时,能被21整除。(18分)
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