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    已知若过定点.以()为法向量的直线与过点以为法向量的直线相交于动点． 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知，若过定点、以（λ∈R）为法向量的直线l1与过点以为法向量的直线l2相交于动点P．
    （1）求直线l1和l2的方程；
    （2）求直线l1和l2的斜率之积k1k2的值，并证明必存在两个定点E，F，使得恒为定值；
    （3）在（2）的条件下，若M，N是上的两个动点，且，试问当|MN|取最小值时，向量与是否平行，并说明理由．

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    （2009•浦东新区二模）已知
    i
    =(1，0)，
    c
    =(0，
    		2
    )    ，若过定点A(0，
    		2
    )    、以
    i
    -λ
    c
    （λ∈R）为法向量的直线l1与过点B(0，-
    		2
    )    以
    c
    +λ
    i
    为法向量的直线l2相交于动点P．
    （1）求直线l1和l2的方程；
    （2）求直线l1和l2的斜率之积k1k2的值，并证明必存在两个定点E，F，使得|
    PE
    |+|
    PF
    |    恒为定值；
    （3）在（2）的条件下，若M，N是l：x=2
    		2
    上的两个动点，且
    EM
    •
    FN
    =0    ，试问当|MN|取最小值时，向量
    EM
    +
    FN
    与
    EF
    是否平行，并说明理由．

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    已知直三棱柱中, , ， 是和的交点, 若.

    （1）求的长；  （2）求点到平面的距离；

    （3）求二面角的平面角的正弦值的大小.

    【解析】本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中，利用ACCA为正方形, AC=3

    第二问中，利用面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD=，第三问中，利用三垂线定理作二面角的平面角，然后利用直角三角形求解得到其正弦值为

    解法一: (1)连AC交AC于E, 易证ACCA为正方形, AC=3 ……………  5分

    (2)在面BBCC内作CDBC, 则CD就是点C平面ABC的距离CD= … 8分

    (3) 易得AC面ACB, 过E作EHAB于H, 连HC, 则HCAB

    CHE为二面角C－AB－C的平面角. ………  9分

    sinCHE=二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为 ……… 12分

    解法二: (1)分别以直线CB、CC、CA为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C(0, 0, 0), B(4, 0, 0), B(4, －3, 0), C(0, －3, 0), A(0, 0, h), A(0, －3, h), G(2, －, －) ………………………  3分

    =(2, －, －), =(0, －3, －h)  ……… 4分

    ·=0,  h=3

    (2)设平面ABC得法向量=(a, b, c),则可求得=(3, 4, 0) (令a=3)

    点A到平面ABC的距离为H=||=……… 8分

    (3) 设平面ABC的法向量为=(x, y, z),则可求得=(0, 1, 1) (令z=1)

    二面角C－AB－C的大小满足cos== ………  11分

    二面角C－AB－C的平面角的正弦大小为

     

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    一、填空题

    1.           2.         3.156         4. -          5.

    6．     7．        8．（理）   （文）       9．0

    10．     11．（理）     （文）

     

    二、选择题

    12.C           13.B          14.(理)C   （文）B           15.B

     

    三、解答题

    16. 【解】（1）由已知：，   （2分）

    即，      （4分）

    ∴，故。              （6分）

    （2）由，得，     （8分）

    ∴，。                   （10分）

    故。              （12分）

    17.【解】

    （理）设三次事件依次为，命中率分别为，

    （1）令，则，∴，，。      （6分）

     （2）。      （13分）

    （文）抛物线的准线是，          （3分）

    双曲线的两条渐近线是。 （6分）

        三条线为成得三角形区域的顶点为，，，（10分）

    当时，。              （13分）

    18.【解】（1），。（4分）

       （2）令，，

    ，（8分）

    即三位市民各获得140、100和110元折扣。（10分）

       （3）（元）。（16分）

    19.【解】（1）直线的法向量，的方程：，

    即为；…（2分）

    直线的法向量，的方程：，

    即为。 （4分）

    （2）。   （6分）

    设点的坐标为，由，得。（8分）

    由椭圆的定义的知存在两个定点，使得恒为定值4。

    此时两个定点为椭圆的两个焦点。（10分）

    （3）设，，则，，

    由，得。（12分）

    ；

    当且仅当或时，取最小值。（14分）

    ，故与平行。（16分）

    20.【解】（1）由，得。由，得第二行的公差，，∴。（2分）

    由，，得，∴。（4分）

    （2）；（6分）

    。（10分）

    （3），， 两式相减，得，。（12分）当时，。（13分）

    ①时，显然能被21整除；（14分）

    ②假设时，能被21整除，当时，

    能被21整除。结论也成立。（17分）

    由①、②可知，当是3的倍数时，能被21整除。（18分）


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