题目列表(包括答案和解析)
过
轴上动点
引抛物线
的两条切线
、
，
、
为切点．
（Ⅰ）若切线，的斜率分别为
和
，求证：
为定值，并求出定值；
（Ⅱ）求证：直线
恒过定点，并求出定点坐标；
（Ⅲ）当
最小时，求
的值．
过
轴上动点
引抛物线
的两条切线
、
，
、
为切点．
(1)若切线，的斜率分别为
和
，求证：
为定值，并求出定值；
(2) 求证：直线
恒过定点，并求出定点坐标；
(3)当
最小时，求
的值．
与抛物线c2：x2=2py（p＞0）的交点分别为A、B，曲线c1和抛物线c2在点A处的切线分别为l1、l2，且l1、l2的斜率分别为k1、k2．
为定值时，求证k1•k2为定值（与p无关），并求出这个定值；
与抛物线c2：x2=2py（p＞0）的交点分别为A、B，曲线c1和抛物线c2在点A处的切线分别为l1、l2，且l1、l2的斜率分别为k1、k2．
为定值时，求证k1•k2为定值（与p无关），并求出这个定值；
（本小题满分14分）
过
轴上动点
引抛物线
的两条切线
、
，
、
为切点，设切线，的斜率分别为
和
.
(1)求证：
;
(2) 试问：直线
是否经过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.
一、
二、11.210 12. 
13.2 14.
15. 
或
或
三．解答题：
16. 解：（1）
……………………………………………………………3分
由题意得周期
，故
…………………………………………4分
又图象过点
，所以
即
，而
，所以
∴
……………………………………………………6分
（2）当
时，
∴当
时，即
时，
是减函数
当
时，即
时，是增函数
∴函数的单调减区间是
，单调增区间是
………………12分
17.解：记“甲回答对这道题”、“ 乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件
、
、
，则
，且有
，即
∴
……………………………………………………………………6分
（2）由（1）
,
.
则甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率为：
……………………12分
18. 解法一 公理化法
（1）当
时，取
的中点
，连接
，因为
为正三角形，则
，由于
为
的中点时，
∵
平面
,∴
平面,∴
.………………………………………………4分
（2）当
时，过作
于
,如图所示，则
底面
,过作
于
,连结
，则
,
为二面角
的平面角，
又
,
又
，
,即二面角的大小为
.…………………………………………………8分
(3)设
到面
的距离为
，则
,
平面
,
即为点到平面的距离，
又
，
即
解得
，
即到平面的距离为
.…………………………………………………………………………12分
解法二 向量法
以为原点，为
轴，过点与垂直的直线为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系
，如图所示，
设
，则
（1）由得
，
则
，
，
………………………………4分
（2）当时，点的坐标是
设平面的一个法向量
，则
即
取
，则
，
又平面的一个法向量为
又由于二面角是一个锐角，则二面角的大小是.……………………8分
（3）设到面的距离为，
则
到平面的距离为.………………………………………………………………………12分
19. 解：(Ⅰ)由于
，
故在点
处的切线方程是
…………………………………………2分
即
，故
与表示同一条直线，
，
即
，
，
.……6分
(Ⅱ) 由于
，
则
或
，所以函数的单调区间是
，…………………………8分
故
或
或
或
或
，
或
或
实数
的取值范围是
.………………………………………………………12分
20. 解：（Ⅰ）设过
与抛物线
的相切的直线的斜率是，
则该切线的方程为：
由
得
，
则
都是方程
的解，故
………………………………………………4分
（Ⅱ）设
由于
，故切线
的方程是：
，又由于点在上，则
则
，
，同理
则直线
的方程是
，则直线过定点
.………………………………………8分
（Ⅲ）要使
最小，就是使得到直线的距离最小，
而到直线的距离
，当且仅当
即
时取等号.………………………………………………………………10分
设
由
得
，则
.…………13分
21. 解：(Ⅰ)由题意知
即
……1分
…………3分
检验知
时，结论也成立
故
.………………………………………………………………………………4分
(Ⅱ) ①由于
故
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