题目列表(包括答案和解析)
如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(Ⅰ)因为
又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC,
而平面PAC,所以.
(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而.
由BD平面PAC,平面PAC,知.在中,由,得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形,,所以均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱锥的体积为.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可,第二问由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由算得体积
如图,在三棱锥中,平面平面,,,,为中点.(Ⅰ)求点B到平面的距离;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【解析】第一问中利用因为,为中点,所以
而平面平面,所以平面,再由题设条件知道可以分别以、、为,, 轴建立直角坐标系得,,,,,,
故平面的法向量而,故点B到平面的距离
第二问中,由已知得平面的法向量,平面的法向量
故二面角的余弦值等于
解:(Ⅰ)因为,为中点,所以
而平面平面,所以平面,
再由题设条件知道可以分别以、、为,, 轴建立直角坐标系,得,,,,
,,故平面的法向量
而,故点B到平面的距离
(Ⅱ)由已知得平面的法向量,平面的法向量
故二面角的余弦值等于
A.充分而不必要条件 | B.必要而不充分条件 |
C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
A.充分而不必要条件 | B.必要而不充分条件 |
C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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