题目列表(包括答案和解析)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)证明:易得,于是,所以
(2) ,设平面PCD的法向量,
则,即.不防设,可得.可取平面PAC的法向量于是从而.
所以二面角A-PC-D的正弦值为.
(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)证明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如图,作于点H,连接DH.由,,可得.
因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值为.
(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
(本小题满分14分)为研究我校高二年级的男生身高,随机抽取40名男生,实测身高数据(单位:厘米)如下:
171 173 163 169 166 167 168.5 160 170 165
175 169 167 156 165.5 168 170 184 168 174
165 170 174 161 177 175.5 173 164 175 171.5
176 159 172 181 175.5 165 163 173 170.5 171
(I)依据题目提示作出频率分布表;
(Ⅱ)在(I)的条件下画出频率分布直方图并且画出其频率分布折线图;
(Ⅲ)试利用频率分布的直方图估计样本的平均数。
【解】(I)最低身高156cm,最高身高184cm,确定组距为4,作频率分布表如下:
身高(cm) |
频数累计 |
频数 |
频率(%) |
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(Ⅱ)频率直方图如下:
(本小题满分14分)为研究我校高二年级的男生身高,随机抽取40名男生,实测身高数据(单位:厘米)如下:
171 173 163 169 166 167 168.5 160 170 165
175 169 167 156 165.5 168 170 184 168 174
165 170 174 161 177 175.5 173 164 175 171.5
176 159 172 181 175.5 165 163 173 170.5 171
(I)依据题目提示作出频率分布表;
(Ⅱ)在(I)的条件下画出频率分布直方图并且画出其频率分布折线图;
(Ⅲ)试利用频率分布的直方图估计样本的平均数。
【解】(I)最低身高156cm,最高身高184cm,确定组距为4,作频率分布表如下:
身高(cm) |
频数累计 |
频数 |
频率(%) |
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(Ⅱ)频率直方图如下:
为研究我校高二年级的男生身高,随机抽取40名男生,实测身高数据(单位:厘米)如下:
171 173 163 169 166 167 168.5 160 170 165
175 169 167 156 165.5 168 170 184 168 174
165 170 174 161 177 175.5 173 164 175 171.5
176 159 172 181 175.5 165 163 173 170.5 171
(I)依据题目提示作出频率分布表;
(Ⅱ)在(I)的条件下画出频率分布直方图并且画出其频率分布折线图;
(Ⅲ)试利用频率分布的直方图估计样本的平均数。
【解】(I)最低身高156cm,最高身高184cm,确定组距为4,作频率分布表如下:
身高(cm) | 频数累计 | 频数 | 频率(%) |
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(Ⅱ)频率直方图如下:
(Ⅲ)
为研究我校高二年级的男生身高,随机抽取40名男生,实测身高数据(单位:厘米)如下:
171 173 163 169 166 167 168.5 160 170 165
175 169 167 156 165.5 168 170 184 168 174
165 170 174 161 177 175.5 173 164 175 171.5
176 159 172 181 175.5 165 163 173 170.5 171
(I)依据题目提示作出频率分布表;
(Ⅱ)在(I)的条件下画出频率分布直方图并且画出其频率分布折线图;
(Ⅲ)试利用频率分布的直方图估计样本的平均数。
【解】(I)最低身高156cm,最高身高184cm,确定组距为4,作频率分布表如下:
身高(cm) | 频数累计 | 频数 | 频率(%) |
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(Ⅱ)频率直方图如下:
(Ⅲ)
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