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    (II)设的导函数是,在(I)的条件下.若.求的最小值, 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足
    0＜f′（x）＜1”
    （I）证明：函数f（x）=
    3x
    4
    +
    x3
    3
    （0≤x＜
    1
    2
    ）是集合M中的元素；
    （II）证明：函数f（x）=
    3x
    4
    +
    x3
    3
    （0≤x＜
    1
    2
    ）具有下面的性质：对于任意[m，n]⊆[0，
    1
    2
    ），都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．
    （III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．试用这一性质证明：对集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一个实数根．

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    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根； ②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”
    （I）判断函数f(x)=
    x
    2
    +
    sinx
    4
    是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根．

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    设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”

       （I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；

       （II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意

    [m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，

    试用这一性质证明：方程只有一个实数根；

       （III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的.

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    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根； ②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”
    （I）判断函数数学公式是否是集合M中的元素，并说明理由；
    （II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根．

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    设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足
    0＜f′（x）＜1”
    （I）证明：函数f（x）=数学公式+数学公式（0≤x＜数学公式）是集合M中的元素；
    （II）证明：函数f（x）=数学公式+数学公式（0≤x数学公式）具有下面的性质：对于任意[m，n]⊆[0，数学公式），都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．
    （III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．试用这一性质证明：对集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一个实数根．

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    一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分.）

    题号

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

    (6)

    (7)

    (8)

    答案

    D

    B

    A

     C

    D

    C

    B

    C

     

    二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

    （9）    （10） 或     （11）   

    （12） ,        （13）     （14）4，8

    三、解答题（本大题共6小题,共80分.）

    (15)      （共12 分）

    解：（I），，

    = ?

                                         2分

                                                     4分

    = .                                                     5分

    又                               6分              

    函数的最大值为.                                             7分

    当且仅当（Z）时，函数取得最大值为.

    （II）由（Z），                          9分

    得  （Z）.                                   11分

    函数的单调递增区间为[](Z).                     12分                                                                                  

    (16) （共14分）

    解法一：（I）证明：连结A1D,在正方体AC1中, ∵A1B1^平面A1ADD1,

    \ A1D是PD在平面A1ADD1  内的射影.                                  2分

             在正方形A1ADD1中， A1D^ AD1, \ PD⊥AD1.                           4分

     解(II)  取中点，连结，，则//.                              

    平面，∴平面.

    ∴为在平面内的射影.

    则为CP与平面D1DCC1所成的角.                       7分

    在中，               

    ∴与平面D1DCC1所成的角的正弦值为.       9分                                       

    （III）在正方体AC1中，∥.

    平面内，

    ∴∥平面.

    ∴点到平面的距离与点C1到平面的距离相等.

    又平面，面，

    ∴平面平面.

    又平面平面，

    过C1作C1H于H，则C1H平面.

    ∴C1的长为点C1到平面的距离.                                          12分

     连结C1 ，并在上取点,使//.

    在中，，得.

    ∴点到平面的距离为.                                                14分

      解法二：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系.

            由题设知正方体棱长为4，则、、

    、、、.                             1分

          （I）设,.                          3分

               ,  .                             4分

          （II）由题设可得，  , 故.

    ， 是平面

    的法向量.                      7分

      .          8分                                                               

    ∴与平面D1DCC1所成角的正弦值为.                                    9分

    （III），设平面D1DP的法向量，

    ∵.

    则，即令，则

    .                                                              12分

    点C到平面D1DP的距离为.                                   14分

    （17）（共13分）

    解（I）设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M，            1分

    依题意，答对一题的概率为，则

    P(M)=                                                   3分

    =.                                                4分

    （II）依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数=1,2,…,6,                5分

    则，，，，

    ， .                                       11分

    所以，的分布列是

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    P

     

     

     

                     

          设，

    则

          ∴,

          ∴ E==.                       13分 

         答：某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为；某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为，E为.

    （18）（本小题共13分）

    解；如图，建立直角坐标系，依题意：设椭圆方

       程为（a>b>0），         1分

    （I）依题意：   4分                                             

    椭圆M的离心率大于0.7，所以.

    椭圆方程为.                                             6分

    （II）因为直线l过原点与椭圆交于点，设椭圆M的左焦点为.

    由对称性可知，四边形是平行四边形.

    的面积等于的面积.                                   8分

    ∵

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