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A．选修4-1：几何证明选讲
锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧

AB

于点E，连接EC，求∠OEC．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线C₁=x²+2y2=1在矩阵M=[

1 2 0 1

]的作用下变换为曲线C₂，求C₂的方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
P为曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）上一点，求它到直线C₂：

x=1+2t y=2

（t为参数）距离的最小值．
D．选修4-5：不等式选讲
设n∈N^*，求证：

C 1 n

+

C 2 N

+L+

C N N

≤

n(2n-1)

．

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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC
交于点D．求证：ED²=EB•EC．
B．选修4-2：矩阵与变换
求矩阵M=

-1 4 2 6

的特征值和特征向量．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是ρcos(θ+

π

4

)=

3 2

2

和ρsin²θ=4cosθ，直线l与曲线C交于点．A，B，C，求线段AB的长．
D．选修4-5：不等式选讲
对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，求|x-y+1|的最大值．

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A．选修4-1：几何证明选讲
如图，直角△ABC中，∠B=90°，以BC为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB的中点．
求证：DE是⊙O的切线．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值-1及其对应的一个特征向量为，点P（2，-1）在矩阵A对应的变换下得到点P′（5，1），求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为（α为参数），求曲线C截直线l所得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b，c都是正数，且abc=8，求证：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

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说明：

    一、本解答给出一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

    二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如

果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加分．

    四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题(每小题5分，满分60分)

1．C   2．D   3．D   4．C   5．B   6．B   7．A   8．D   9．B   10．B  11．A  12．C

简答与提示：

1．，故选C.

2．∵

   ∴，故选D．

3．因为四个命题均有线在面内的可能，所以均不正确，故选D．

4．，故选C．

5．利用叠加法及等比数列求和公式，可求得，故选B.

6．以为直径的圆与圆的公共弦即为所求，直线方程为，故

选B．

7．，将的图象先向左平移个单位得到

的图象，再沿轴将横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)得到的图象，故选A．

8．在点(0，一1)处目标函数取得最大值为9，故选D．

9．先在后三位中选两个位置填两个数字“0”有种填法，再排另两张卡片有种排

   法，再决定用数字“9”还是“6”有两种可能，所以共可排成个四位数，

   故选B．

10．依题意，∴，故选B．

11．因为函数在其定义域内为减函数，所以

恒成立，即为减函数(切线斜率减小)，故选A．

12．，

∵，∴，当A、F、B

三点共线时取得最小值，故选C．

二、填空题(每题5分．共20分}

  13．3      14．      15．28      16．①③

  简答与提示：

  13．∵V_正四面体 ，∴.

  14．∵，∴，∴．

  15．∵，

    ∴，∴．

  16．∵，

      ∴，

      ∵，

      ∴，故①③正确．

三、解答题(满分70分)

  17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数图象及性质．

      解：(1)∵

                    (4分)

             ∴．

          (2)当，即时，，       ，    (6分)

             当，即，，

             ∴函数的值域为[，1]．                              (10分)

  18．本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题解决问题的

能力．

      解．(1)中一等奖的概率为，                         (2分)

            中二等奖的概率为，                          (4分)

中三等奖的概率为，                       (6分)

∴摇奖一次中奖的概率为                    (7分)

(2) 由(1)可知，摇奖一次不中奖的概率为            (9分)

            设摇奖一次庄家所获得的金额为随机变量，则随机变量的分布列为：

            ∴

∴摇奖一次庄家获利金额的期望值为元                      (12分)

19．本小题主要考查空间线面位置关系、异面直线所成角、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力以及空间向量的应用．

解法一：(1)证明：

               取中点为，连结、，

               ∵△是等边三角形，

               ∴

               又∵侧面底面，

               ∴底面，

               ∴为在底面上的射影，

               又∵，

               ，

               ∴，

                ∴，

                ∴，

                ∴．

(2)取中点，连结、，                            (6分)

                ∵．

                ∴．

                又∵，，

                ∴平面，

∴，

∴是二面角的平面角.                     (9分)

∵，，

∴．

∴，

∴，

∴，

∴二面角的大小为                           (12分)

解法二：证明：(1) 取中点为，中点为，连结，

                ∵△是等边三角形，

∴，

又∵侧面底面，

∴底面，

∴以为坐标原点，建立空间直角坐标系

如图，    (2分)

∵，△是等边三角形，

∴，

∴．

∴．

∵

∴．

(2)设平面的法向量为

   ∵

   ∴

令，则，∴               (8分)

设平面的法向量为，              

∵，

∴，

令，则，∴         (10分)

∴，

∴，

                ∴二面角的大小为.                          (12分)

20．本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查轨迹的求法以及综合解题能力

解：(1)设，则

    ∵,∴，∴，               (3分)

又，∴

∴曲线的方程为                                     (6分)

(2)由(1)可知， (4，0)为椭圆的右焦点，设直线方程为

，由消去得，，

∴          (9分)

∴

       ，

当，即时取得最大值，

此时直线方程为.                                (12分)

21．本小题主要考察等差数列定义、通项、数列求和、不等式等基础知识，考察综合分析问题的能力和推理论证能力．

解：(1)∵，

       ∴                                          (2分)

           ∴，   

           ∵  ∴.                              (4分)

           ∵∴，∴，

           ∴，

           ∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，

           ∴，∴，

           ∴．                                        (7分)

(2)，

  ∵

           ∴                                                (10分)

           当时，

           ，

           当时，，

           ∴.                                                (12分)

22．本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质

   的方法，考查分析问题和解决问题的能力．

解：(1)∵

∴，                                       (1分)

设.

∴，

∴(1+z)在上为减函数．                             (3分)

∴，

∴，

∴函数在上为减函数．                       (5分)

(2)在上恒成立，

          在上恒成立，                           (6分)

          设，则，

          ∴，                                              (7分)

          若，则时，