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本题满分12分）
某超市为促销商品，特举办“购物有奖100%中奖”活动，凡消费者在该超市购物满10元，可获得一次摇奖机会，购物满20元，可获得两次摇奖机会，以此类推，摇奖机结构如图，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，落入A袋为一等奖，奖金2元，落入B袋为二等奖，奖金1元，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是

（I）求摇奖两次均获得一等奖的概率；
（II）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X元，试求X的分布列与期望；
（III）若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不能再参加摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算。

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说明：

    一、本解答给出一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题

的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

    二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如

果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得累加分．

    四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．

一、选择题(每小题5分，满分60分)

1．C   2．D   3．D   4．C   5．B   6．B   7．A   8．D   9．B   10．B  11．A  12．C

简答与提示：

1．，故选C.

2．∵

   ∴，故选D．

3．因为四个命题均有线在面内的可能，所以均不正确，故选D．

4．，故选C．

5．利用叠加法及等比数列求和公式，可求得，故选B.

6．以为直径的圆与圆的公共弦即为所求，直线方程为，故

选B．

7．，将的图象先向左平移个单位得到

的图象，再沿轴将横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变)得到的图象，故选A．

8．在点(0，一1)处目标函数取得最大值为9，故选D．

9．先在后三位中选两个位置填两个数字“0”有种填法，再排另两张卡片有种排

   法，再决定用数字“9”还是“6”有两种可能，所以共可排成个四位数，

   故选B．

10．依题意，∴，故选B．

11．因为函数在其定义域内为减函数，所以

恒成立，即为减函数(切线斜率减小)，故选A．

12．，

∵，∴，当A、F、B

三点共线时取得最小值，故选C．

二、填空题(每题5分．共20分}

  13．3      14．      15．28      16．①③

  简答与提示：

  13．∵V_正四面体 ，∴.

  14．∵，∴，∴．

  15．∵，

    ∴，∴．

  16．∵，

      ∴，

      ∵，

      ∴，故①③正确．

三、解答题(满分70分)

  17．本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数图象及性质．

      解：(1)∵

                    (4分)

             ∴．

          (2)当，即时，，       ，    (6分)

             当，即，，

             ∴函数的值域为[，1]．                              (10分)

  18．本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题解决问题的

能力．

      解．(1)中一等奖的概率为，                         (2分)

            中二等奖的概率为，                          (4分)

中三等奖的概率为，                       (6分)

∴摇奖一次中奖的概率为                    (7分)

(2) 由(1)可知，摇奖一次不中奖的概率为            (9分)

            设摇奖一次庄家所获得的金额为随机变量，则随机变量的分布列为：

            ∴

∴摇奖一次庄家获利金额的期望值为元                      (12分)

19．本小题主要考查空间线面位置关系、异面直线所成角、二面角等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力以及空间向量的应用．

解法一：(1)证明：

               取中点为，连结、，

               ∵△是等边三角形，

               ∴

               又∵侧面底面，

               ∴底面，

               ∴为在底面上的射影，

               又∵，

               ，

               ∴，

                ∴，

                ∴，

                ∴．

(2)取中点，连结、，                            (6分)

                ∵．

                ∴．

                又∵，，

                ∴平面，

∴，

∴是二面角的平面角.                     (9分)

∵，，

∴．

∴，

∴，

∴，

∴二面角的大小为                           (12分)

解法二：证明：(1) 取中点为，中点为，连结，

                ∵△是等边三角形，

∴，

又∵侧面底面，

∴底面，

∴以为坐标原点，建立空间直角坐标系

如图，    (2分)

∵，△是等边三角形，

∴，

∴．

∴．

∵

∴．

(2)设平面的法向量为

   ∵

   ∴

令，则，∴               (8分)

设平面的法向量为，              

∵，

∴，

令，则，∴         (10分)

∴，

∴，

                ∴二面角的大小为.                          (12分)

20．本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查轨迹的求法以及综合解题能力

解：(1)设，则

    ∵,∴，∴，               (3分)

又，∴

∴曲线的方程为                                     (6分)

(2)由(1)可知， (4，0)为椭圆的右焦点，设直线方程为

，由消去得，，

∴          (9分)

∴

       ，

当，即时取得最大值，

此时直线方程为.                                (12分)

21．本小题主要考察等差数列定义、通项、数列求和、不等式等基础知识，考察综合分析问题的能力和推理论证能力．

解：(1)∵，

       ∴                                          (2分)

           ∴，   

           ∵  ∴.                              (4分)

           ∵∴，∴，

           ∴，

           ∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列，

           ∴，∴，

           ∴．                                        (7分)

(2)，

  ∵

           ∴                                                (10分)

           当时，

           ，

           当时，，

           ∴.                                                (12分)

22．本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质

   的方法，考查分析问题和解决问题的能力．

解：(1)∵

∴，                                       (1分)

设.

∴，

∴(1+z)在上为减函数．                             (3分)

∴，

∴，

∴函数在上为减函数．                       (5分)

(2)在上恒成立，

          在上恒成立，                           (6分)

          设，则，

          ∴，                                              (7分)

          若，则时，