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x、y∈R,A={(x,y)|x²+y²=1},B={(x,y)| =1,a>0,b>0},当A∩B只有一个元素时，a,b的关系式是_________

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难点磁场

解：由得x²+(m－1)x+1=0                                                   ①

∵A∩B≠

∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解.

首先，由Δ=(m－1)²－4≥0,得m≥3或m≤－1,当m≥3时，由x₁+x₂=－(m－1)＜0及x₁x₂=1>0知，方程①只有负根，不符合要求.

当m≤－1时，由x₁+x₂=－(m－1)>0及x₁x₂=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在区间(0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.

故所求m的取值范围是m≤－1.

歼灭难点训练

一、1.解析：对M将k分成两类：k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=

nπ+,n∈Z},对N将k分成四类，k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}.

答案：C

2.解析：∵A∪B=A，∴BA,又B≠,

∴即2＜m≤4.

答案：D

二、3.a=0或a≥

4.解析：由A∩B只有1个交点知，圆x²+y²=1与直线=1相切，则1=,即ab=.

答案：ab=

三、5.解：log₂(x²－5x+8)=1,由此得x²－5x+8=2，∴B={2,3}.由x²+2x－8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，∴2和－4都不是关于x的方程x²－ax+a²－19=0的解，而A∩B ,即A∩B≠,

∴3是关于x的方程x²－ax+a²－19=0的解，∴可得a=5或a=－2.

当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C=不符合，所以a=5(舍去)；当a=－2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B ，∴a=－2.

6.解：(1)正确.在等差数列{a_n}中，S_n=,则(a₁+a_n),这表明点(a_n,）的坐标适合方程y(x+a₁),于是点(a_n, )均在直线y=x+a₁上.

(2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组的解，由方程组消去y得：2a₁x+a₁²=－4(^*)，当a₁=0时，方程(^*)无解，此时A∩B=；当a₁≠0时，方程(^*)只有一个解x=,此时，方程组也只有一解,故上述方程组至多有一解.

∴A∩B至多有一个元素.

(3）不正确.取a₁=1,d=1,对一切的x∈N^*,有a_n=a₁+(n－1)d=n>0, >0,这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a₁=1≠0.如果A∩B≠,那么据(2）的结论，A∩B中至多有一个元素(x₀,y₀）,而x₀=＜0,y₀=＜0,这样的(x₀,y₀）A,产生矛盾，故a₁=1,d=1时A∩B=，所以a₁≠0时，一定有A∩B≠是不正确的.

7.解：由w=zi+b得z=,

∵z∈A,∴|z－2|≤2,代入得|－2|≤2,化简得|w－(b+i)|≤1.

∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点(2，0）为圆心，半径为2的圆面，集合B表示以点(b,1)为圆心，半径为1的圆面.

又A∩B=B，即BA，∴两圆内含.

因此≤2－1,即(b－2)²≤0，∴b=2.

8.(1)证明：设x₀是集合A中的任一元素，即有x₀∈A.

∵A={x|x=f(x)},∴x₀=f(x₀).

即有f［f(x₀)］=f(x₀)=x₀,∴x₀∈B,故AB.

(2)证明：∵A={－1,3}={x|x²+px+q=x},

∴方程x²+(p－1)x+q=0有两根－1和3，应用韦达定理，得

∴f(x)=x²－x－3.

于是集合B的元素是方程f［f(x)］=x,也即(x²－x－3)²－(x²－x－3)－3=x(^*)的根.

将方程(^*)变形，得(x²－x－3）²－x²=0

解得x=1,3,,－.

故B={－，－1，，3}.