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已知函数f(x)=. 则f^-－1(x－1)=_________ 

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已知函数f(x)= 则f^-－1(x－1)=_________  

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难点磁场

解：(1)由>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x₁＜x₂＜1,则

F(x₂)－F(x₁)=()+()

,

∵x₂－x₁>0,2－x₁>0,2－x₂>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.

因此F(x₂)－F(x₁)>0,F(x₂)>F(x₁),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.

(2)证明：由y=f(x)=得：2^y=,

∴f^－1(x)=,∵f(x)的值域为R，∴f^-－1(x)的定义域为R.

当n≥3时，f^-1(n)>.

用数学归纳法易证2ⁿ>2n+1(n≥3),证略.

(3)证明：∵F(0)=,∴F^－1()=0,∴x=是F^－1(x)=0的一个根.假设F^－1(x)=0还有一个解x₀(x₀≠),则F^-1(x₀)=0,于是F(0)=x₀(x₀≠).这是不可能的，故F^-1(x)=0有惟一解.

歼灭难点训练

一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10^x+1)                                                                      ①

又g(－x)+h(－x)=lg(10^－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10^－x+1)                                             ②

由①②得：g(x)=,h(x)=lg(10^x+1)－.

答案：C

2.解析：当a>1时，函数y=log_ax的图象只能在A和C中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数.

答案：B

二、3.解析：容易求得f^{- －1}(x)=,从而：

f^－1(x－1)=

答案：

4.解析：由题意，5分钟后，y₁=ae^－nt,y₂=a－ae^－nt,y₁=y₂.∴n=ln2.设再过t分钟桶1中的水只有,则y₁=ae^－n(5+t)=,解得t=10.

答案：10

三、5.解：(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′.

∵点P(x,y)在函数y=log_a(x－3a)的图象上，∴－y′=log_a(x′+2a－3a),即y′=log_a,∴g(x)=log_a.

(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;=>0,又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|log_a(x－3a)－log_a|=|log_a(x²－4ax+3a²)|?|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤log_a(x²－4ax+3a²)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x²－4ax+3a²在［a+2,a+3］上为减函数，∴μ(x)=log_a(x²－4ax+3a²)在［a+2,a+3］上为减函数，从而［μ(x)］_max=μ(a+2)=log_a(4－4a),［μ(x)］_min=μ(a+3)=log_a(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组的解.

由log_a(9－6a)≥－1解得0＜a≤,由log_a(4－4a)≤1解得0＜a≤,

∴所求a的取值范围是0＜a≤.

6.解：f(x₁)+f(x₂)=log_ax₁+log_ax₂=log_ax₁x₂,

∵x₁,x₂∈(0,+∞),x₁x₂≤()²(当且仅当x₁=x₂时取“=”号)，

当a>1时，有log_ax₁x₂≤log_a()²,

∴log_ax₁x₂≤log_a()，(log_ax₁+log_ax₂)≤log_a,

即f(x₁)+f(x₂)］≤f()(当且仅当x₁=x₂时取“=”号)

当0＜a＜1时，有log_ax₁x₂≥log_a()²,

∴(log_ax₁+log_ax₂)≥log_a,即［f(x₁)+f(x₂)］≥f()(当且仅当x₁=x₂时取“=”号）.

7.解：由已知等式得：log_a²x+log_a²y=(1+2log_ax)+(1+2log_ay),即(log_ax－1)²+(log_ay－1)²=4,令u=log_ax,v=log_ay,k=log_axy,则(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内，圆弧(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点，分两类讨论.

(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得1+≤k≤2(1+);

(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－)≤k≤1－.x综上，当a>1时，log_axy的最大值为2+2，最小值为1+；当0＜a＜1时，log_axy的最大值为1－，最小值为2－2.

8.解：∵2(x)²+9(x)+9≤0

∴(2x+3)( x+3)≤0.

∴－3≤x≤－.

即 ()^－3≤x≤()?

∴()≤x≤()^－3,∴2≤x≤8

即M={x|x∈［2,8］}

又f(x)=(log₂x－1)(log₂x－3)=log₂²x－4log₂x+3=(log₂x－2)²－1.

∵2≤x≤8,∴≤log₂x≤3

∴当log₂x=2,即x=4时y_min=－1;当log₂x=3,即x=8时，y_max=0.