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难点磁场

(1）证明：令x=y=0,得f(0)=0

令y=－x,得f(0)=f(x)+f(－x),即f(－x)=－f(x)

∴f(x)是奇函数

(2）解：1°,任取实数x₁、x₂∈［－9,9］且x₁＜x₂,这时，x₂－x₁>0,f(x₁)－f(x₂)=f［(x₁－x₂)+x₂］－f(x₂)=f(x₁－x₂)+f(x₂)－f(x₁)=－f(x₂－x₁)

因为x>0时f(x)＜0,∴f(x₁)－f(x₂)>0

∴f(x)在［－9，9］上是减函数

故f(x)的最大值为f(－9),最小值为f(9).

而f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=－12,f(－9)=－f(9)=12.

∴f(x)在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12.

歼灭难点训练

一、1.解析：分类讨论当a>1时和当0＜a＜1时.

答案：C

2.解析：用特值法，根据题意，可设f(x)=x,g(x)=|x|,又设a=2,b=1,

则f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)－f(b)=f(2)－f(－1)=2+1=3.

g(b)－g(－a)=g(1)－g(－2)=1－2=－1.∴f(a)－f(－b)>g(1)－g(－2)=1－2=－1.

又f(b)－f(－a)=f(1)－f(－2)=1+2=3.

g(a)－g(－b)=g(2)－g(1)=2－1=1,∴f(b)－f(－a)=g(a)－g(－b).

即①与③成立.

答案：C

二、3.解析：设2^x=t>0，则原方程可变为t²+at+a+1=0                                             ①

方程①有两个正实根，则

解得：a∈(－1,2－2.

答案：(－1，2－2

三、4.解：(1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)²+|－x|+1=f(x),此时f(x)为偶函数；当a≠0时，f(a)=a²+1,f(－a)=a²+2|a|+1,f(－a)≠f(a),f(－a)≠－f(a).此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶

函数.

(2)①当x≤a时，函数f(x)=x²－x+a+1=(x－)²+a+,若a≤,则函数f(x)在(－∞,a上单调递减，从而，函数f(x)在(－∞,a上的最小值为f(a)=a²+1.

若a>,则函数f(x)在(－∞,a上的最小值为f()=+a,且f()≤f(a).?

②当x≥a时，函数f(x)=x²+x－a+1=(x+)²－a+;当a≤－时，则函数f(x)在［a,+∞上的最小值为f(－)=－a,且f(－)≤f(a).若a>－,?则函数f(x)在［a,+∞)上单调递增，从而，函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a²+1.

综上，当a≤－时，函数f(x)的最小值是－a,当－＜a≤时，函数f(x)的最小值是a²+1;当a>时，函数f(x)的最小值是a+.

5.(1)证明：由 得f(x)的定义域为(－1，1)，易判断f(x)在(－1，1)内是减函数.

(2)证明：∵f(0)=,∴f^-－1()=0,即x=是方程f^-－1(x)=0的一个解.若方程f^-－1(x)=0还有另一个解x₀≠,则f^-－1(x₀)=0,由反函数的定义知f(0)=x₀≠,与已知矛盾，故方程f^-－1(x)=0有惟一解.

(3)解：f［x(x－)］＜,即f［x(x－)］＜f(0).

6.证明：对f(x)+f(y)=f()中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=－x,又得f(x)+f(－x)=f(0)=0,即f(－x)=－f(x),∴f(x)在x∈(－1,1)上是奇函数.设－1＜x₁＜x₂＜0,则f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)+f(－x₂)=f(),∵－1＜x₁＜x₂＜0,∴x₁－x₂＜0,1－x₁x₂>0.∴＜0,于是由②知f()?>0,从而f(x₁)－f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂),故f(x)在x∈(－1,0)上是单调递减函数.根据奇函数的图象关于原点对称，知f(x)在x∈(0,1)上仍是递减函数，且f(x)＜0.

7.解：(1)因污水处理水池的长为x米，则宽为米，总造价y=400(2x+2×)+248××2+80×200=800(x+)+1600,由题设条件

  解得12.5≤x≤16,即函数定义域为［12.5，16］.

(2)先研究函数y=f(x)=800(x+)+16000在［12.5,16］上的单调性，对于任意的x₁,x₂∈［12.5,16］,不妨设x₁＜x₂,则f(x₂)－f(x₁)=800［(x₂－x₁)+324()］=800(x₂－x₁)(1－),∵12.5≤x₁≤x₂≤16.∴0＜x₁x₂＜16²＜324,∴>1,即1－＜0.又x₂－x₁>0,∴f(x₂)－f(x₁)＜0,即f(x₂)＜f(x₁),故函数y=f(x)在［12.5,16］上是减函数.∴当x=16时，y取得最小值，此时，y_min=800(16+)+16000=45000(元)，=12.5(米）?

综上，当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低为45000元.

8.解：∵f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上是增函数，∴f(x)在(－∞,0)上也是增函数.

又f(1)=0,∴f(－1)=－f(1)=0,从而，当f(x)＜0时，有x＜－1或0＜x＜1,

则集合N={m|f［g(θ)］＜θ＝={m|g(θ)＜－1或0＜g(θ)＜1,

∴M∩N={m|g(θ)＜－1.由g(θ)＜－1,得cos²θ>m(cosθ－2)+2,θ∈［0,］,令x=cosθ,x∈［0,1］得：x²>m(x－2)+2,x∈［0,1］，令①：y₁=x²,x∈［0,1］及②y₂=m(m－2)+2,显然①为抛物线一段，②是过(2，2)点的直线系，在同一坐标系内由x∈［0,1］得y₁>y₂.∴m>4－2,故M∩N={m|m>4－2}.