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难点磁场

解：(1)设f(x)=a(x－)²－，由f(1)=0得a=1.

∴f(x)=x²－(t+2)x+t+1.

(2)将f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：

(x－1)［x－(t+1)］g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹，上式对任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：

且t≠0，解得a_n=［(t+1)ⁿ⁺¹－1］，b_n=［1－(t+1ⁿ)

(3)由于圆的方程为(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，又由(2)知a_n+b_n=1，故圆C_n的圆心O_n在直线x+y=1上，又圆C_n与圆C_n+1相切，故有r_n+r_n+1=｜a_n+1－a_n｜=(t+1)ⁿ⁺¹?

设{r_n}的公比为q，则

                                                                        ②÷①得q==t+1，代入①得r_n=

∴S_n=π(r₁²+r₂²+…+r_n²)=［(t+1)²ⁿ－1］

歼灭难点训练

一、1.解析：当a=n时y=n(n+1)x²－(2n+1)x+1

由｜x₁－x₂｜=，得d_n=，∴d₁+d₂+…+d_n

答案：A

二、2.解析：由1,x₁,x₂,4依次成等差数列得：2x₁=x₂+1,x₁+x₂=5解得x₁=2,x₂=3.又由1，y₁,y₂,8依次成等比数列，得y₁²=y₂,y₁y₂=8,解得y₁=2,y₂=4,

∴P₁(2,2),P₂(3,4).∴=(3,4)

∴

答案：1

3.解析：第一次容器中有纯酒精a－b即a(1－)升，第二次有纯酒精a(1－)－，即a(1－)²升，故第n次有纯酒精a(1－)ⁿ升.

答案：a(1－)ⁿ

4.解析：从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7.3%为公比的等比数列，∴a₅=95933(1+7.3%)⁴≈120000(亿元).

答案：120000

三、

5.解：(1)由题意得rq^n－1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹.由题设r＞0,q＞0,故从上式可得：q²－q－1＜0，解得＜q＜,因q＞0,故0＜q＜;

(2)∵.b₁=1+r≠0，所以{b_n}是首项为1+r，公比为q的等比数列，从而b_n=(1+r)q^n-1.

当q=1时，S_n=n(1+r),

,从上式可知，当n－20.2＞0，即n≥21(n∈N^*)时，C_n随n的增大而减小，故

1＜C_n≤C₂₁=1+=2.25                                                                  ①

当n－20.2＜0，即n≤20(n∈N^*)时，C_n也随n的增大而减小，故1＞C_n≥C₂₀=1+=－4                                                                                       ②

综合①②两式知，对任意的自然数n有C₂₀≤C_n≤C₂₁,故{C_n}的最大项C₂₁=2.25，最小项C₂₀=－4.

6.解：(1)第1位职工的奖金a₁=，第2位职工的奖金a₂=(1－)b，第3位职工的奖金a₃=(1－)²b，…，第k位职工的奖金a_k= (1－)^k－1b;

(2)a_k－a_k+1=(1－)^k－1b＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则.

(3)设f_k(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余数，则f₁(b)=(1－)b,f₂(b)=(1－)²b,…,f_k(b)=(1－)^kb.得P_n(b)=f_n(b)=(1－)ⁿb,

故.

7.解：设a_n表示第n年的废旧物资回收量，S_n表示前n年废旧物资回收总量，则数列{a_n}是以10为首项，1+20%为公比的等比数列.

(1)a₆=10(1+20%)⁵=10×1.2⁵=24.8832≈25(万吨)

(2)S₆==99.2992≈99.3(万吨)

∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99.3≈1986(万吨)

(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)，

∴从1996年到2001年共节约：

≈3 平方公里.

8.解：(1)当n≥3时，x_n=;

由此推测a_n=(－)^n-1a(n∈N)

证法一：因为a₁=a＞0,且

 (n≥2)

所以a_n=(－)^n-1a.

证法二：用数学归纳法证明：

(?)当n=1时，a₁=x₂－x₁=a=(－)⁰a,公式成立；

(?)假设当n=k时，公式成立，即a_k=(－)^k－1a成立.

那么当n=k+1时，

a_k+1=x_k+2－x_k+1=

据(?)(?)可知，对任意n∈N，公式a_n=(－)^n-1a成立.

(3)当n≥3时，有x_n=(x_n－x_n－1)+(x_n－1－x_n－2)+…+(x₂－x₁)+x₁

=a_n－1+a_n－2+…+a₁,

由(2)知{a_n}是公比为－的等比数列，所以a.