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难点磁场

解：建立坐标系如图所示，

设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0).

设M(x,y）是轨迹上任意一点.

则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得

(1－λ²)x²+(1－λ²)y²+2a(1+λ²)x+(1－λ²)a²=0

(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴).

(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x²+y²+x+a²=0.点M的轨迹是以

(－，0）为圆心，为半径的圆.

歼灭难点训练

一、1.解析：∵|PF₁|+|PF₂|=2a,|PQ|=|PF₂|,

∴|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=2a,

即|F₁Q|=2a,∴动点Q到定点F₁的距离等于定长2a,故动点Q的轨迹是圆.

答案：A

2.解析：设交点P(x,y）,A₁(－3,0),A₂(3,0),P₁(x₀,y₀),P₂(x₀,－y₀)

∵A₁、P₁、P共线，∴

∵A₂、P₂、P共线，∴

解得x₀=

答案：C

二、3.解析：由sinC－sinB=sinA,得c－b=a,

∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.

答案：

4.解析：设P(x,y），依题意有,化简得P点轨迹方程为4x²+4y²－85x+100=0.

答案：4x²+4y²－85x+100=0

三、5.解：设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P的轨迹方程为=1(y≠0)

6.解：设P(x₀,y₀）(x≠±a),Q(x,y).

∵A₁(－a,0),A₂(a,0).

由条件

而点P(x₀,y₀)在双曲线上，∴b²x₀²－a²y₀²=a²b².

即b²(－x²)－a²()²=a²b²

化简得Q点的轨迹方程为：a²x²－b²y²=a⁴(x≠±a).

7.解：(1)设P点的坐标为(x₁,y₁)，则Q点坐标为(x₁,－y₁),又有A₁(－m,0),A₂(m,0),

则A₁P的方程为：y=                                                                 ①

A₂Q的方程为：y=－                                                                  ②

①×②得：y²=－                                                                ③

又因点P在双曲线上，故

代入③并整理得=1.此即为M的轨迹方程.

(2)当m≠n时，M的轨迹方程是椭圆.

(?)当m＞n时，焦点坐标为(±,0)，准线方程为x=±,离心率e=；

(?)当m＜n时，焦点坐标为(0,±),准线方程为y=±,离心率e=.

8.解：(1)∵点F₂关于l的对称点为Q，连接PQ，

∴∠F₂PR=∠QPR，|F₂R|=|QR|，|PQ|=|PF₂|

又因为l为∠F₁PF₂外角的平分线，故点F₁、P、Q在同一直线上，设存在R(x₀,y₀）,Q(x₁,y₁),F₁(－c,0),F₂(c,0).

|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a,则(x₁+c)²+y₁²=(2a)².

又

得x₁=2x₀－c,y₁=2y₀.

∴(2x₀)²+(2y₀)²=(2a)²，∴x₀²+y₀²=a².

故R的轨迹方程为：x²+y²=a²(y≠0)

(2)如右图，∵S_△AOB=|OA|?|OB|?sinAOB=sinAOB

当∠AOB=90°时，S_△AOB最大值为a².

此时弦心距|OC|=.

在Rt△AOC中，∠AOC=45°，