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设一部机器在一天内发生故障的概率为0 2，机器发生故障时全天停止工作 若一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元，只发生两次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？

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难点磁场

解：记元件A、B、C正常工作的事件分别为A、B、C，由已知条件P(A)=0.80, P(B)=0.90,P(C)=0.90.

(1)因为事件A、B、C是相互独立的，所以，系统N₁正常工作的概率P₁=P(A?B?C)=P(A)P(B)P(C)=0.648,故系统N₁正常工作的概率为0.648

(2)系统N₂正常工作的概率P₂=P(A)?［1－P()］

=P(A)?［1－P()P()］

=0.80×［1－(1－0.90)(1－0.90)］=0.792

故系统N₂正常工作的概率为0.792

歼灭难点训练

一、1.解析：设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件B，丙命中目标为事件C，则目标被击中的事件可以表示为A+B+C，即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生.

故目标被击中的概率为1－P(??)=1－

答案：A

2.解析：Eξ=(1+2+3)?=2，Eξ²=(1²+2²+3²)?=

∴Dξ=Eξ²－(Eξ)²=－2²=.

∴D(3ξ+5)=9Eξ=6.

答案：A

二、3.解析：由条件知，ξ的取值为0，1，2，3，并且有P(ξ=0)=,

答案：0.3

4.解析：因为每组人数为13，因此，每组选1人有C种方法，所以所求概率为P=.

答案：

三、5.解：(1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A，“乙射击一次击中目标”叫做事件B.显然事件A、B相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P(A?B)?=P(A)?P(B)=0.6×0.6=0.36

答：两人都击中目标的概率是0.36

(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是P(A?)=P(A)?P()=0.6×

(1－0.6)=0.6×0.4=0.24

甲未击中、乙击中的概率是P(?B)=P()P(B)=0.24，显然，“甲击中、乙未击中”和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件A?与?B互斥，所以恰有一人击中目标的概率是P(A?)+P(?B)=0.24+0.24=0.48

答：其中恰有一人击中目标的概率是0.48.

(2)两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率P=P(A?B)+［P(A?)+P()?B］=0.36+0.48=0.84

答：至少有一人击中目标的概率是0.84.

6.解：(1)因为ξ所在区间上的概率总和为1，所以 (1－a+2－a)?1=1,

∴a=

概率密度曲线如图：

(2)P(1＜ξ＜)=

7.解：一元二次方程有实数根Δ≥0

而Δ=P²－4()=P²－P－2=(P+1)(P－2)

解得P≤－1或P≥2

故所求概率为P=

8.解：以X表示一周5天内机器发生故障的天数，则X－B(5，0.2)，于是X有概率分布P(X=k)=C0.2^k0.8^5－k,k=0,1,2,3,4,5.

以Y表示一周内所获利润，则

Y=g(X)=

Y的概率分布为：

P(Y=10)=P(X=0)=0.8⁵=0.328

P(Y=5)=P(X=1)=C0.2?0.8⁴=0.410

P(Y=0)=P(X=2)=C?0.2²?0.8³=0.205

P(Y=－2)=P(X≥3)=1－P(X=0)－P(X=1)－P(X=2)=0.057

故一周内的期望利润为：

EY=10×0.328+5×0.410+0×0.205－2×0.057=5.216(万元)