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如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为、、，我们称为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比.
（1）已知椭圆和，判断与是否相似，如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；
（2）若与椭圆相似且半短轴长为的椭圆为，且直线与椭圆为相交于两点(异于端点)，试问：当面积最大时，是否与有关？并证明你的结论.
（3）根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，提出你认为有价值的相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；

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已知椭圆C：的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比．已知椭圆C₁以抛物线的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．（1）若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且相似比为2，求椭圆C₂的方程．
（2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任一点，若点Q是直线y=nx与抛物线异于原点的交点，证明点Q一定落在双曲线4x²-4y²=1上．
（3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直线l上，B，D在曲线C_b上，若存在求出函数f（b）=S_ABCD的解析式及定义域，若不存在，请说明理由．

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如图，已知椭圆的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆和判断C₂与C₁是否相似，如果相似则求出C₂与C₁的相似比，若不相似请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且半短轴长为b的椭圆C_b的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆C_b上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

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一、          填空题：

 1、   2、   3、128  4、  5、64     6、 

 7、    8、    9、-4  10、15  11、

 12、（1）（2）（5）

二、选择题：

 13、D      14、  C    15、  B    16、 C

17、解：以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别轴，

建立空间直角坐标系。 -----2分

则  C（2，1，0） N（1，0，1）  =（-1，-1，1）---4分

        D（0，2，0） M（1，，1） =（1，-，1）---6分

设与的夹角为，

  ----8分  

  ---10分

  异面直线与所成的角为  -----12分

18、解：延长，作交于D，------4分

设，则

 ------8分

解得．------10分

故船继续朝原方向前进有触礁的危险．-----12

19、解： (1)因为f(x+y)=f(x)+f(y)，

令x=y=0，代入①式，-----2分

得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0  --------4分

（２）令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，

则有0=f(x)+f(-x)．------6分

即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，

所以f(x)是奇函数．．．．．．．8分

(3)    f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，

又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，----10分

又由(1)f(x)是奇函数．

  f(k?3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，

k?3＜-3+9+2，

得_------12分

_------------１4分

20、解：（1）为等差数列，∵，又，

∴ ，是方程的两个根

又公差，∴，∴，      --------     2分

∴    ∴   ∴     -----------4分

（2）由(1)知，         -----------5分

∴

∴，，         ------------7分

∵是等差数列，∴，∴    ----------8分

∴（舍去）                         ------------9分

（3）由(2)得                    -------------11分

  ，时取等号 ------- 13分

，时取等号15分

(1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以   -----------16分

21、解：（1）椭圆与相似.   -----2分

因为的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，

而椭圆的特征三角形是腰长为2，

底边长为的等腰三角形，

因此两个等腰三角形相似，且相似比为.                                                                                                              --- 6分

（2）椭圆的方程为：.        --------8分

假定存在，则设、所在直线为，中点为.

则.       -------10分

所以.

中点在直线上，所以有.        ----12分

.

.     -------14分

（3）椭圆的方程为：.        

两个相似椭圆之间的性质有：                          写出一个给2分

①     两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；

②     分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；

③     两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；

过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比.    ----20分