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    题目列表(包括答案和解析)

    （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

         已知函数的反函数。定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”。

    （1）       判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；    

    （2）       求所有满足“2和性质”的一次函数；

    （3）       设函数对任何，满足“积性质”。求的表达式。

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    （本题满分16分）

       （文科学生做）已知命题p：函数在R上存在极值；

    命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

    若为真，为假，试求实数a的取值范围。

     

    （理科学生做）已知命题p：对，函数有意义；

    命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

    若为真，为假，试求实数a的取值范围。

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    （本题满分16分）

       在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

       （1）求圆的方程；

       （2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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    （本题满分16分）

       （文科学生做）已知命题p：函数在R上存在极值；

    命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

    若为真，为假，试求实数a的取值范围。

     

    （理科学生做）已知命题p：对，函数有意义；

    命题q：设A={x| x 2 + 2 x 3<0}, B={x| x 2 (a +１) x + a >0}，若对，都有；

    若为真，为假，试求实数a的取值范围。

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    （本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．

       （1）求圆的方程；

       （2）试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由

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    1．1   2．    3．    4．－8    5．   6．20         7．

    8．1   9．0     10．    11．   12．     13．   14．（1005，1004）

    15.⑴ ∵ ，……………………………… 2分

    又∵ ，∴ 而为斜三角形，

    ∵，∴.   ……………………………………………………………… 4分

    ∵，∴ .  …………………………………………………… 6分

    ⑵∵，∴ …12分

    即，∵，∴.…………………………………14分

    16．⑴∵平面，平面，所以，…2分

    ∵是菱形，∴，又，

    ∴平面，……………………………………………………4分

    又∵平面，∴平面平面．  ……………………………………6分

    ⑵取中点，连接,则，

    ∵是菱形，∴，

    ∵为的中点，∴，………………10分

    ∴．

    ∴四边形是平行四边形，∴，………………12分

    又∵平面，平面．

    ∴平面．     ………………………………………………………………14分

    17.（1）∵直线过点，且与圆：相切，

    设直线的方程为，即，　…………………………2分

    则圆心到直线的距离为，解得，

    ∴直线的方程为，即． …… …………………4分

    （2）对于圆方程,令，得,即．又直线过点且与轴垂直，∴直线方程为，设，则直线方程为

    解方程组,得同理可得,……………… 10分

    ∴以为直径的圆的方程为，

    又，∴整理得，……………………… 12分

    若圆经过定点，只需令，从而有，解得，

    ∴圆总经过定点坐标为． …………………………………………… 14分

    18．⑴因为当时，，所以， ……4分

    ∴   ………………………………………………………6分

    ⑵设每小时通过的车辆为，则．即 ……12分

    ∵，…………………………………………………14分

    ∴，当且仅当，即时，取最大值．

    答：当时，大桥每小时通过的车辆最多．………16分

    19.（1）由，得

    ∴b、c所满足的关系式为．……………………2分

    （2）由，，可得．

    方程，即，可化为，

    令，则由题意可得，在上有唯一解，…4分

    令，由，可得，

    当时，由，可知是增函数；

    当时，由，可知是减函数．故当时，取极大值．………6分

    由函数的图象可知，当或时，方程有且仅有一个正实数解．

    故所求的取值范围是或．  ……………………………………………8分

    （3）由，，可得．由且且且．…10分

    当时， ；当时，；

    当时（），；当时，且；

    当时，∪． ………………………16分

    注：可直接通过研究函数与的图象来解决问题．

    20．（1）由，且等差数列的公差为，可知，

    若插入的一个数在之间，则，，

    消去可得，其正根为． ………………………………2分

    若插入的一个数在之间，则，，

    消去可得，此方程无正根．故所求公差．………4分

    （2）设在之间插入个数，在之间插入个数，则，在等比数列中，

    ∵，…，，

    ∴……   ………………8分

    又∵，，都为奇数，∴可以为正数，也可以为负数．

    ①若为正数，则…，所插入个数的积为；

    ②若为负数，…中共有个负数，

    当是奇数，即N*)时，所插入个数的积为；

    当是偶数，即N*）时，所插入个数的积为．

    综上所述，当N*)时，所插入个数的积为；

    当N*）时，所插入个数的积为．…………10分

    注：可先将…用和表示，然后再利用条件消去进行求解．

    （3）∵在等比数列，由，可得，同理可得，

    ∴，即， …………………………12分

    假设是有理数，若为整数，∵是正数，且，∴，

    在中，∵是的倍数，故1也是的倍数，矛盾．

    若不是整数，可设（其中为互素的整数，），

    则有，即，

    ∵，可得，∴是x的倍数，即是x的倍数，矛盾．

    ∴ 是无理数．……………………………………16分

     

     

    附加题部分

    21B．设为曲线上的任意一点，在矩阵A变换下得到另一点，

    则有，…………………………………………………………4分

    即      ∴…………………………………8分

    又因为点P在曲线上，所以，

    故有, 即所得曲线方程.……………………………………… 10分

    21C．将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为，

    即，它表示以为圆心，2为半径的圆，      …………………4分

    直线方程的普通方程为，                       ………………6分

    圆的圆心到直线的距离，………………………………………………………8分

    故所求弦长为．   ………………………………………………10分

    21D．由柯西不等式可得

     ．…10分

    22．以点为坐标原点, 以分别为轴,

    建立如图空间直角坐标系, 不妨设 则

    ,∴ ,


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