题目列表(包括答案和解析)
设抛物线:(>0)的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于,两点.
(Ⅰ)若,的面积为,求的值及圆的方程;
(Ⅱ)若,,三点在同一条直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到,距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】设准线于轴的焦点为E,圆F的半径为,
则|FE|=,=,E是BD的中点,
(Ⅰ) ∵,∴=,|BD|=,
设A(,),根据抛物线定义得,|FA|=,
∵的面积为,∴===,解得=2,
∴F(0,1), FA|=, ∴圆F的方程为:;
(Ⅱ) 解析1∵,,三点在同一条直线上, ∴是圆的直径,,
由抛物线定义知,∴,∴的斜率为或-,
∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=,
设直线的方程为:,代入得,,
∵与只有一个公共点, ∴=,∴,
∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=,
∴坐标原点到,距离的比值为3.
解析2由对称性设,则
点关于点对称得:
得:,直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为
定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。
且其中的x满足6cosx=5tanx,解得sinx=。线段P1P2的长为
设椭圆 :()的一个顶点为,,分别是椭圆的左、右焦点,离心率 ,过椭圆右焦点 的直线 与椭圆 交于 , 两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在直线 ,使得 ,若存在,求出直线 的方程;若不存在,说明理由;
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解,以及直线与椭圆的位置关系的运用。(1)中椭圆的顶点为,即又因为,得到,然后求解得到椭圆方程(2)中,对直线分为两种情况讨论,当直线斜率存在时,当直线斜率不存在时,联立方程组,结合得到结论。
解:(1)椭圆的顶点为,即
,解得, 椭圆的标准方程为 --------4分
(2)由题可知,直线与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时,经检验不合题意. --------5分
②当直线斜率存在时,设存在直线为,且,.
由得, ----------7分
,,
=
所以, ----------10分
故直线的方程为或
即或
PA |
PB |
3 |
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