(竖直平面内的圆周运动问题)如图所示，质量为m、电量为＋q的带电小球固定于一不可伸长的绝缘细线一端，绳的另一端固定于O点，绳长为l，O点有一电荷量为＋Q(Q≥q)的点电荷P，现加一个水平和右的匀强电场，小球静止于与竖直方向成＝30°角的A点．求：

(1)小球静止在A点处绳子受到的拉力；

(2)外加电场大小；

(3)将小球拉起至与O点等高的B点后无初速释放，则小球经过最低点C时，绳受到的拉力．

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如图所示，ABC为固定在竖直面内的光滑四分之一圆轨道，其半径为r=10m，N为固定在水平面内的半圆平面，其半径为R=

10

π

m，轨道ABC与平面N相切于c点，DEF是包围在半圆平面N周围且垂直于N的光滑半圆形挡板，质量为M=1kg的滑块的上表面与平面N在同一水平面内，且滑块与N接触紧密但不连接，现让物体自A点由静止开始下滑，进入平面N后受到挡板DEF的约束并最终冲上滑块，已知m=1kg，物体与平面N之间的动摩擦因数为μ₁=0.5、与滑块之间的动摩擦因数为μ₂=0.4，滑块与地面之间是光滑的，滑块的竖直高度为h=0.05m，长L=4m．（取g=10m/s²）
（1）物体滑到C处时对圆轨道的压力是多少？
（2）物体运动到F处时的速度是多少？
（3）当物体从滑块上滑落后到达地面时，物体与滑块之间的距离是多少？

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如图所示，ABC为固定在竖直面内的光滑四分之一圆轨道，其半径为r=10m，N为固定在水平面内的半圆平面，其半径为R=

10

π

m，轨道ABC与平面N相切于c点，DEF是包围在半圆平面N周围且垂直于N的光滑半圆形挡板，质量为M=1kg的滑块的上表面与平面N在同一水平面内，且滑块与N接触紧密但不连接，现让物体自A点由静止开始下滑，进入平面N后受到挡板DEF的约束并最终冲上滑块，已知m=1kg，物体与平面N之间的动摩擦因数为μ₁=0.5、与滑块之间的动摩擦因数为μ₂=0.4，滑块与地面之间是光滑的，滑块的竖直高度为h=0.05m，长L=4m．（取g=10m/s²）
（1）物体滑到C处时对圆轨道的压力是多少？
（2）物体运动到F处时的速度是多少？
（3）当物体从滑块上滑落后到达地面时，物体与滑块之间的距离是多少？

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如图所示，ABC为固定在竖直面内的光滑四分之一圆轨道，其半径为r=10m，N为固定在水平面内的半圆平面，其半径为R=m，轨道ABC与平面N相切于c点，DEF是包围在半圆平面N周围且垂直于N的光滑半圆形挡板，质量为M=1kg的滑块的上表面与平面N在同一水平面内，且滑块与N接触紧密但不连接，现让物体自A点由静止开始下滑，进入平面N后受到挡板DEF的约束并最终冲上滑块，已知m=1kg，物体与平面N之间的动摩擦因数为μ₁=0.5、与滑块之间的动摩擦因数为μ₂=0.4，滑块与地面之间是光滑的，滑块的竖直高度为h=0.05m，长L=4m．（取g=10m/s²）
（1）物体滑到C处时对圆轨道的压力是多少？
（2）物体运动到F处时的速度是多少？
（3）当物体从滑块上滑落后到达地面时，物体与滑块之间的距离是多少？

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一、选择题

1、根据图象分析：若沿x轴作匀速运动，通过图1分析可知，y方向先减速后加速；若沿y轴方向作匀速运动，通过图2分析可知，x方向先加速后减速。

答案：B

2、乙船能到达A点，则vcos60⁰=u，

过河时间t满足：t = H/（ vsin60⁰）, 甲、乙两船沿垂直于河岸方向的分速度相同，故过河时间相同。在t时间内甲船沿河岸方向的位移为s= （vcos60⁰ + u ）t=。

答案：D

3、根据万有引力定律：，得：T=

答案：A

4、质点在A、B、C、D四点离开轨道，分别做下抛、平抛、上抛、平抛运动。很明显，在A点离开轨道比在C、D两点离开轨道在空间时间短。通过计算在A点下抛落地时间为t_A=（6-4）s，在B点平抛落地时间t_B=4s，显然，在A点离开轨道后在空中时间最短。根据机械能守恒，在D刚抛出时机械能最大，所以落地时速度最大。

答案：AD

5、在轨道上向其运行方向弹射一个物体，由于质量远小于空间站的质量，空间站仍沿原方向运动。根据动量守恒，弹出后一瞬间，空间站沿原运行方向的速度变小，提供的向心力（万有引力）大于需要的向心力，轨道半径减小，高度降低，在较低的轨道上运行速率变大，周期变小。

答案：C

6、当悬线在竖直状态与钉相碰时根据能量守恒可知，小球速度不变；但圆周运动的半径减小，需要的向心力变大，向心加速度变大，绳子上的拉力变大。

答案：BD

7、根据万有引力定律：可得：M=,可求出恒星质量与太阳质量之比，根据可得：v=,可求出行星运行速度与地球公转速度之比。

答案：AD

8、卫星仍围绕地球运行，所以发射速度小11.2km/s；最大环绕速度为7.9km/s，所以在轨道Ⅱ上的速度小于7.9km/s；根据机械能守恒可知：卫星在P点的速度大于在Q点的速度；卫星在轨道Ⅰ的Q点是提供的向心力大于需要的向心力，在轨道Ⅱ上Q点是提供的向心力等于需要的向心力，所以在Q点从轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ必须增大速度。

答案：CD

9、同步卫星随地球自转的方向是从东向西，把同步卫星从赤道上空3.6万千米、东经103°处，调整到104°处，相对于地球沿前进方向移动位置，需要增大相对速度，所以应先下降高度增大速度到某一位置再上升到原来的高度。

答案：A

10、开始转动时向心力由静摩擦力提供，但根据F=mrω²可知，B需要的向心力是A的两倍。所以随着转速增大，B的摩擦力首先达到最大静摩擦力。继续增大转速，绳子的张力增大，B的向心力由最大静摩擦力提供，A的向心力由静摩擦力和绳子的张力的合力提供，随着转速的增大，B需要的向心力的增量（绳子张力的增量）比A需要的向心力的增量大，因而A指向圆心的摩擦力逐渐减小直到为0然后反向增大到最大静摩擦力。所以，B受到的静摩擦力先增大，后保持不变；A受到的静摩擦力是先减小后增大；A受到的合外力就是向心力一直在增大。

答案：BD

二、填空题

11、圆盘转动时，角速度的表达式为ω= ，  T为电磁打点计的时器打点的时间间隔，r为圆盘的半径，x₂、x₁是纸带上选定的两点分别对应米尺上的刻度值，n为选定的两点间的打点数（含两点）。地纸带上选取两点（间隔尽可能大些）代入上式可求得ω= 6.8rad/s。

12、 (1)斜槽末端切线方向保持水平；从同一高度。

（2）设时间间隔为t, x = v₀t，   y₂-y₁=gt² ，解得: v₀=.将x=20.00cm，y₁ =4.70cm， y₂ =14.50cm代入求得v₀=2m/s

三、计算题

13．解：⑴在行星表面，质量为m的物体的重力近似等于其受到的万有引力，则

g=                               

得：   

⑵行星表面的环绕速度即为第一宇宙速度，做匀速圆周运动的向心力是万有引力提供的，则

v₁=　　　　　　　　　           

得：　

14．解析：用r表示飞船圆轨道半径,有r =R +H=6.71×l0⁶ m．

由万有引力定律和牛顿定律，得 , 式中M表示地球质量，m表示飞船质量，T表示飞船绕地球运行的周期，G表示万有引力常量．

利用及上式, 得 ，代入数值解得T=5.28×10³s,

出舱活动时间t=25min23s=1523s, 航天员绕行地球角度 =104⁰

15．解：（1）这位同学对过程的分析错误，物块先沿着圆柱面加速下滑，然后离开圆柱面做斜下抛运动，离开圆柱面时的速率不等于。                   

（2）a、设物块离开圆柱面时的速率为,

解得：                      

（2）b、由：  得：

落地时的速率为                       

16.解：对子弹和木块应用动量守恒定律：

      所以                                  

对子弹、木块由水平轨道到最高点应用机械能守恒定律，

取水平面为零势能面：有

   所以                        

由平抛运动规律有：                          

解得:                   

所以，当R = 0.2m时水平距离最大                

最大值S_max = 0.8m。

17．解：（1）

（2）设人在B₁位置刚好看见卫星出现在A₁位置，最后

在B₂位置看到卫星从A₂位置消失，

    OA₁=2OB₁

有  ∠A₁OB₁=∠A₂OB₂=π/3

从B₁到B₂时间为t

则有   

18．解: （1）设 A、B的圆轨道半径分别为、，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速 度相同，设其为。由牛顿运动定律，有

设 A、B之间的距离为，又，由上述各式得

，                               ①

由万有引力定律，有

将①代入得

令

比较可得

                                                   ②

（2）由牛顿第二定律，有

                                                   ③

又可见星 A的轨道半径

                                                                ④

由②③④式解得

                                               ⑤

（3）将代入⑤式，得

代入数据得

                                            ⑥

，将其代入⑥式得

                                    ⑦

可见，的值随 n的增大而增大，试令，得

                                           ⑧

若使⑦式成立，则 n 必大于 2，即暗星 B 的质量必大于，由此得出结

论：暗星有可能是黑洞。