椭圆C的中心为坐标原点O，点A₁，A₂分别是椭圆的左、右顶点，B为椭圆的上顶点，一个焦点为F（

3

，0），离心率为

3

2

．点M是椭圆C上在第一象限内的一个动点，直线A₁M与y轴交于点P，直线A₂M与y轴交于点Q．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若把直线MA₁，MA₂的斜率分别记作k₁，k₂，求证：k₁k₂=-

1

4

；
（III） 是否存在点M使|PB|=

1

2

|BQ|，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

椭圆C的中心为坐标原点O，点A₁，A₂分别是椭圆的左、右顶点，B为椭圆的上顶点，一个焦点为F（

3

，0），离心率为

3

2

．点M是椭圆C上在第一象限内的一个动点，直线A₁M与y轴交于点P，直线A₂M与y轴交于点Q．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若把直线MA₁，MA₂的斜率分别记作k₁，k₂，求证：k₁k₂=-

1

4

；
（III） 是否存在点M使|PB|=

1

2

|BQ|，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

已知椭圆C₁的中心在原点，离心率为

4

5

，焦点在x轴上且长轴长为10．过双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右焦点F₂作垂直于x轴的直线交双曲线C₂于M、N两点．
（I）求椭圆C₁的标准方程；
（II）若双曲线C₂与椭圆C₁有公共的焦点，且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A，求双曲线C₂的标准方程；
（III）若以MN为直径的圆与双曲线C₂的左支有交点，求双曲线C₂的离心率的取值范围．