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    [解析]不等式的解集是.所以. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且.设.

    （I）若，，，求方程在区间内的解集；

    （II）若点是曲线上的动点.当时，设函数的值域为集合，不等式的解集为集合. 若恒成立，求实数的最大值；

    （III）根据本题条件我们可以知道，函数的性质取决于变量、和的值. 当时，试写出一个条件，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.【说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.】

     

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    （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且.设.
    （I）若，，，求方程在区间内的解集；
    （II）若点是曲线上的动点.当时，设函数的值域为集合，不等式的解集为集合. 若恒成立，求实数的最大值；
    （III）根据本题条件我们可以知道，函数的性质取决于变量、和的值. 当时，试写出一个条件，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.【说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.】

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    已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.

    （1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

    （2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

    【解析】解：令.

    当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

    于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

    令则

    当时，单调递增；当时，单调递减.

    故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

    综上所述，的取值集合为.

    （Ⅱ）由题意知，令则

    令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

    从而，又

    所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

    【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

     

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    一、选择题（每小题5分，共60分）

    1．A   2．C     3．C   4．D  5．B   6．A   7．D   8．D  9．C   10．B    11．B      12．D

    二、填空题（每小题4分，共16分）

       13．    14．3825     15．1      16．0ⅠⅡ

    三、解答题

    17．解：（Ⅰ）在中，由及余弦定理得

          而，则；

          （Ⅱ）由及正弦定理得，

          而，则

          于是，

         由得，当即时，。

    18解：（Ⅰ）基本事件共有36个，方程有正根等价于，即。设“方程有两个正根”为事件，则事件包含的基本事件为共4个，故所求的概率为；

    （Ⅱ）试验的全部结果构成区域，其面积为

    设“方程无实根”为事件，则构成事件的区域为

    ，其面积为

    故所求的概率为

    19．解：（Ⅰ）证明：由平面及得平面，则

       而平面，则，又，则平面，

       又平面，故。

    （Ⅱ）在中，过点作于点，则平面．

    由已知及（Ⅰ）得．

    故

    (Ⅲ)在中过点作交于点，在中过点作交于点，连接，则由得

      由平面平面，则平面

    再由得平面，又平面，则平面．

      故当点为线段上靠近点的一个三等分点时，平面．

      20．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，

    则，

    （Ⅱ）由

    得，故数列适合条件①

    而，则当或时，有最大值20

    即，故数列适合条件②．

    综上，故数列是“特界”数列。

         21．证明：消去得

    设点，则，

    由，，即

    化简得，则

    即，故

    （Ⅱ）解：由

      化简得

        由得，即

    故椭圆的长轴长的取值范围是。

    22．解：（Ⅰ），由在区间上是增函数

    则当时，恒有，

    即在区间上恒成立。

    由且，解得．

    （Ⅱ）依题意得

    则，解得

    而

    故在区间上的最大值是。

    （Ⅲ）若函数的图象与函数的图象恰有3个不同的交点，

    即方程恰有3个不等的实数根。

    而是方程的一个实数根，则

    方程有两个非零实数根，

    则即且．

    故满足条件的存在，其取值范围是．

     

     


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