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在中,为线段上一点，且,线段.
（1）求证：;
（2）若，，试求线段的长.

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在中，

（1）若为直线上一点，且，求证：；

（2）若，，且为线段上靠近的一个三等分点，求的值；

（3）若，，且，，，…，为线段的等分点，求的值．

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一、选择题（每小题5分，共60分）

1．A   2．C     3．C   4．D  5．B   6．A   7．D   8．D  9．C   10．B    11．B      12．D

二、填空题（每小题4分，共16分）

   13．    14．3825     15．1      16．0ⅠⅡ

三、解答题

17．解：（Ⅰ）在中，由及余弦定理得

      而，则；

      （Ⅱ）由及正弦定理得，

      而，则

      于是，

     由得，当即时，。

18解：（Ⅰ）基本事件共有36个，方程有正根等价于，即。设“方程有两个正根”为事件，则事件包含的基本事件为共4个，故所求的概率为；

（Ⅱ）试验的全部结果构成区域，其面积为

设“方程无实根”为事件，则构成事件的区域为

，其面积为

故所求的概率为

19．解：（Ⅰ）证明：由平面及得平面，则

   而平面，则，又，则平面，

   又平面，故。

（Ⅱ）在中，过点作于点，则平面．

由已知及（Ⅰ）得．

故

(Ⅲ)在中过点作交于点，在中过点作交于点，连接，则由得

  由平面平面，则平面

再由得平面，又平面，则平面．

  故当点为线段上靠近点的一个三等分点时，平面．

  20．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，

则，

（Ⅱ）由

得，故数列适合条件①

而，则当或时，有最大值20

即，故数列适合条件②．

综上，故数列是“特界”数列。

     21．证明：消去得

设点，则，

由，，即

化简得，则

即，故

（Ⅱ）解：由

  化简得

    由得，即

故椭圆的长轴长的取值范围是。

22．解：（Ⅰ），由在区间上是增函数

则当时，恒有，

即在区间上恒成立。

由且，解得．

（Ⅱ）依题意得

则，解得

而

故在区间上的最大值是。

（Ⅲ）若函数的图象与函数的图象恰有3个不同的交点，

即方程恰有3个不等的实数根。

而是方程的一个实数根，则

方程有两个非零实数根，

则即且．

故满足条件的存在，其取值范围是．