已知数列a_n满足a₁+a₂+…+a_n=n²（n∈N^*）．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）对任意给定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*（k＜p＜r）使成等差数列？若存在，用k分别表示p和r（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；
（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．

1,3,5

三、解答题

（17）解:（Ⅰ）-             ---------------------------2分

高三年级人数为-------------------------3分

现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为

(人).                       --------------------------------------6分

（Ⅱ）设“高三年级女生比男生多”为事件，高三年级女生、男生数记为.

由（Ⅰ）知且

则基本事件空间包含的基本事件有

共11个,     ------------------------------9分

事件包含的基本事件有

共5个   

                --------------------------------------------------------------11分

答：高三年级女生比男生多的概率为.  …………………………………………12分

（18）解：（Ⅰ）  …………2分

在中，由于，

                                        …………3分

又，

又，所以，而，因此.…………6分

   （Ⅱ）由，

由正弦定理得                                …………8分

，

即，由（Ⅰ）知，所以    …………10分

由余弦弦定理得 ，     …………11分

，

                                               …………12分

（19）（Ⅰ）证明：∵、分别为、的中点，∴.

     又∵平面平面

∴平面                                         …………4分

（Ⅱ）∵，，∴平面.

又∵，∴平面.

∵平面,∴平面平面.               …………8分

（Ⅲ）∵平面，∴是三棱锥的高.

在Rt△中，.

    在Rt△中，.

 ∵，是的中点，

∴,

故.        ………………12分

（20）解：（Ⅰ）依题意得

                             …………2分

 解得，                                             …………4分

.       …………6分

   （Ⅱ）由已知得，                  …………8分

                                                         ………………12分

（21）解：（Ⅰ）

      令=0,得                        ………2分

因为，所以可得下表：

0

+

0

-

ㄊ

极大

ㄋ

                                                          ………………4分

因此必为最大值,∴，因此，

     ，

    即，∴，

 ∴                                       ……………6分

（Ⅱ）∵，∴等价于， ………8分

 令，则问题就是在上恒成立时，求实数的取值范围，为此只需，即，                 …………10分

解得，所以所求实数的取值范围是[0，1].            ………………12分

（22）解:（Ⅰ）由得，，

所以直线过定点（3，0），即.                       …………………2分

 设椭圆的方程为,

则,解得_，

所以椭圆的方程为.                    ……………………5分

（Ⅱ）因为点在椭圆上运动,所以，      ………………6分

从而圆心到直线的距离

所以直线与圆恒相交.                             ……………………9分

又直线被圆截得的弦长

，       …………12分

由于,所以,则,

即直线被圆截得的弦长的取值范围是.  …………………14分