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    21．已知二次函数. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1．
    （1）求g（x）的表达式；
    （2）设1＜m≤e，H（x）=g（x+
    1
    2
    ）+mlnx-（m+1）x+
    9
    8
    ，求证：H（x）在[1，m]上为减函数；
    （3）在（2）的条件下，证明：对任意x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1．

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    已知二次函数f（x）=x2+bx+1（b∈R），满足f（-1）=f（3）．
    （1）求b的值；
    （2）当x＞1时，求f（x）的反函数f-1（x）；
    （3）对于（2）中的f-1（x），如果f-1(x)＞m(m-
    		x
    )    在[
    1
    4
    ，
    1
    2
    ]    上恒成立，求实数m的取值范围．

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    已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（x∈R）的最小值为0，且满足条件①f（x-4）=f（2-x），②对任意的x∈R有f（x）≥x，当x∈（0，2）时，f(x)≤(
    x+1
    2
    )2    ，那么f（a）+f（c）-f（b）的值为（　　）
    A、0
    B、
    7
    32
    C、
    9
    16
    D、1

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    已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）＞0，对于任意实数x都有f（x）≥0，则
    f(1)
    f′(0)
    的最小值为（　　）
    A、3
    B、
    5
    2
    C、2
    D、
    3
    2

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    已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b、c∈R），不论α、β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0．
    （1）求证：b+c=-1；
    （2）求证：c≥3；
    （3）若函数f（sinα）的最大值为8，求b、c的值．

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    一、BDCBD    ACA CC    

    二、                    ①④

    三、16．解：（1）  

      即   

    又为锐角       

     （2）

      又 代入上式得：（当且仅当 时等号成立。）

      （当且仅当 时等号成立。）

    17．解：（1）由已知得 解得．设数列的公比为，

    由，可得．又，可知，即，

    解得． 由题意得．  ．故数列的通项为．

      （2）由于   由（1）得 

    =

    18．解：（1）因为     图象的一条对称轴是直线 

    20081226

    （2）

      由得

    分别令，得的单调增区间是（开闭区间均可）。

    （3） 列表如下：

    0

    0

    1

    0

    ―1

    0

    19．解：（I）由，则.

    两式相减得. 即.          

    又时，.∴数列是首项为4，公比为2的等比数列.

    （Ⅱ）由（I）知.∴            

    ①当为偶数时，，

    ∴原不等式可化为，即.故不存在合条件的.      

    ②当为奇数时，.

    原不等式可化为，所以，又m为奇数，所以m=1,3,5……

    20．解：（1）依题意，得

    ∴ ∴

       （2）令

    当在此区间为增函数

    当在此区间为减函数

    当在此区间为增函数

    处取得极大值又

    因此，当

    要使得不等式

    所以，存在最小的正整数k=2007，

    使得不等式恒成立。……7分

      （3）（方法一）

         

    又∵∴由（2）知在为增函数，

    综上可得

    （方法2）由（2）知，函数

    上是减函数，在[，1]上是增函数又

    所以，当时，－

    又t>0，

    ，且函数上是增函数，

     

    综上可得

    21．解：（1） 

    当时，

    函数有一个零点；当时，，函数有两个零点。

       （2）假设存在，由①知抛物线的对称轴为x＝－1，∴即  

    由②知对,都有

    令得又因为恒成立，  ，即，即

    由得，

    当时，，

    其顶点为（－1，0）满足条件①，又对,

    都有，满足条件②。∴存在，使同时满足条件①、②。

       （3）令，则

    ，

    在内必有一个实根。即，

    使成立。

     

     

     

     

     


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