题目列表(包括答案和解析)
(09年南通调研一)下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图,则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是 ▲ .
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一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.
1. 2. 3.0 4.充分而不必要 5. 6.2
7. 8.5 9. 10.1.5 11.
13.14.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.
15.(本小题满分14分)
(1)== ……………………………………2分
== ……………………………………………………………………………………………4分
……………………………………………………………………………6分
(2)==
==…………………………………………………………………………9分
由,得………………………………………………………………………10分
……………………………………………………………………12分
当, 即时, …………………………………………………………14分
16.(本小题满分14分)
(1)在梯形中,,
四边形是等腰梯形,
且
…………………3分
又平面平面,交线为,
平面…………………………………………………6分
(2)当时,平面,………………………7分
在梯形中,设,连接,则…………………………………8分
,而,……………………………………………10分
,四边形是平行四边形,…………………………………………12分
又平面,平面平面…………………………………………14分
18.(本小题满分16分)
(1)设椭圆的焦距为
则其右准线方程为x=,且F1(-c, 0), F2(c, 0). ……………2分
设M,
则=
. ………………………4分
因为,所以,即.
于是,故∠MON为锐角.
所以原点O在圆C外. ………………………7分
(2)因为椭圆的离心率为,所以a=
于是M ,且 …………………9分
MN2=(y1-y2)2=y12+y22-2y1y2. ………… 12分
当且仅当 y1=-y2=或y2=-y1=时取“=”号, ……………… 14分
所以(MN)min=
故所求的椭圆方程是. ………………… 16分
19.(本小题满分16分)
(1)函数的定义域为.…………………………………1分
由得;…………………………………………………………………………………………2分
由得,……………………………………………………………………………………3分
则增区间为,减区间为. ………………………………………………………………………4分
(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增, …………6分
由,且,………………………………………………8分
时, 的最大值为,故时,不等式恒成立. …………10分
(3)方程即.记,则
.由得;由得.
所以在上递减;在上递增.
而,……………………………………12分
所以,当时,方程无解;
当时,方程有一个解;
当时,方程有两个解;
当时,方程有一个解;
当时,方程无解. ………………………………………………………………………………14分
综上所述,时,方程无解;
或时,方程有唯一解;
时,方程有两个不等的解. ……………………………………………16分
20.(本小题满分16分)
(1)因为第一行数组成的数列{A1j}(j=1,2,…)是以1为首项,公差为3的等差数列,
所以A1 j=1+(j-1)×3=3 j-2,
第二行数组成的数列{A2j}(j=1,2,…)是以4为首项,公差为4的等差数列,
所以A2 j=4+(j-1)×4=4 j. ……………………2分
所以A2 j-A1 j=4 j-(3 j-2)=j+2,
所以第j列数组成的数列{ Aij}(i=1,2,…)是以3 j-2为首项,公差为 j+2的等差数列,
所以Aij=3 j-2+(i-1) ×(j+2) =ij+2i+2j-4=(i+3) (j+2) 8. …………5分
故Aij+8=(i+3) (j+2)是合数.
所以当=8时,对任意正整数i、j,总是合数 …………………6分
(2) (反证法)假设存在k、m,,使得成等比数列,
即 ………………………7分
∵bn=Ann =(n+2)2-4
∴
得,
即, …………………10分
又∵,且k、m∈N,∴k≥2、m≥3,
∴,这与∈Z矛盾,所以不存在正整数k和m,使得成等比数列.……………………12分
(3)假设存在满足条件的,那么
即. …………………… 14分
不妨令 得
所以存在使得成等差数列. …………………… 16分
(注:第(3)问中数组不唯一,例如也可以)
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