如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积是等腰直角三角形，∠A₁C₁B₁=90°，A₁C₁=1，AA₁=

2

，N、M分别是线段B₁B、AC₁的中点．
（I）证明：MN∥平面ABC；
（II）求A₁到平面AB₁C₁的距离
（III）求二面角A₁-AB₁-C₁的大小．

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如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°
（I）求证：EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE；
（Ⅲ）求二面角F-BD-A的大小．

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如图，正方形ABCD所在的平面与三角形ADE所在平面互相垂直，△AEB是等腰直角三角形，且AE=ED设线段BC、PBC的中点分别为F、M，
求证：（1）FM∥平面ECD；
（2）求二面角E-BD-A的正切值．

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如图，已知等腰直角三角形RBC，其中∠RBC=90°，RB=BC=2．点A、D分别是RB、RC的中点，现将△RAD沿着边AD折起到△PAD位置，使PA⊥AB，连接PB、PC．
（1）求证：BC⊥PB；
（2）求二面角A-CD-P的平面角的余弦值．

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如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E、F、O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．
（I）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
（II）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE．

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一、选择题：1-5  BABAC       6-10  DAACC

二、填空题：11．625     12．     13．

14．     15．    

三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

解：（1）由题意知

的夹角           

（2）

有最小值

的最小值是

17．（本小题满分12分）

（1）证法一：在中，是等腰直角的中位线，                                       

在四棱锥中，，， 平面，                         

又平面,                                            

证法二：同证法一      平面，                                                   

又平面,                                   

（2）在直角梯形中，,                     

又垂直平分，                      

∴                              

三棱锥的体积为  

18．（本小题满分14分）

解：，   

因为函数在处的切线斜率为-3，

所以，即

又得

（1）函数在时有极值，所以

解得

所以．

（2）因为函数在区间上单调递增，所以导函数

在区间上的值恒大于或等于零

则得，所以实数的取值范围为

19．（本小题满分14分）

解：（1）由题设知

由于，则有，所以点的坐标为

故所在直线方程为

所以坐标原点到直线的距离为

又，所以  解得：

所求椭圆的方程为

（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线斜率为

直线的方程为，则有

设，由于、、三点共线，且

根据题意得,解得或

又在椭圆上，故或

解得,综上，直线的斜率为或

20．（本小题满分14分）

解: 在实施规划前, 由题设(万元),

知每年只须投入40万, 即可获得最大利润100万元.

则10年的总利润为W₁=100×10=1000（万元）.

实施规划后的前5年中, 由题设知,

每年投入30万元时, 有最大利润(万元).

所以前5年的利润和为(万元). 

设在公路通车的后5年中, 每年用x万元投资于本地的销售, 而用剩下的（60－x）万元于外地区的销售投资, 则其总利润为：

.

当x=30时，W₂|_max=4950（万元）.

从而 ,   该规划方案有极大实施价值.

21．（本小题满分14分）

解：（1）设

,又

（2）由已知得

两式相减得,

当.若

（3）由,

.

若

可知,.