已知AA₁⊥平面ABC，AA₁=AB=BC=CA=3，P为A₁B上的点。

（1）当P为A₁B的中点时，求证：AB⊥PC ；
（2）当时，求二面角P-BC-A平面角的余弦值。

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一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中、分别是、的中点，是上的一动点，主视图与俯视图都为正方形。

⑴求证：；
⑵当时，在棱上确定一点，使得∥平面，并给出证明。
⑶求二面角的平面角余弦值。

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如图：PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点E、F分别是BC、PB的中点．

(Ⅰ)证明：EF∥平面PAC；

(Ⅱ)当AD等于何值时，二面角P－DE－A的大小为30°；

(Ⅲ)求二面角P－DE－A余弦值的取值范围．

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

CBCDB    DADCA

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.90       12.[)       13.       14.1 ；3899       15.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．

16.（本小题满分13分）

解：（1）

……3分……4分

令

的单调区间,k∈Z　．．．．．．6分

（2）由得　．．．．．７分

又为的内角．．．．．．９分

　　　　　　　．．．11分

　　．．．．12分

17. （本小题满分13分）

解:(1)记“甲击中目标的次数减去乙击中目标的次数为2”为事件A，则

，解得．．．．．4分

(2)的所有可能取值为0,1,2.记“在第一次射击中甲击中目标”为事件；记“在第一次射击中乙击中目标”为事件.

   则,

   ,．．．．．10分

所以的分布列为

0

1

2

P

∴=．．．．．12分

18. （本小题满分13分）

解:（1）当为中点时,有平面

证明:连结交于,连结

∵四边形是矩形  ∴为中点

又为中点,从而

∵平面,平面

∴平面．．．．．4分

（2）建立空间直角坐标系如图所示,

则,,,,

．．．．．6分

所以,.

设为平面的法向量,则有,即

令,可得平面的一个法向量为,．．．．．9分

而平面的一个法向量为 ．．．．．10分

所以

所以二面角的余弦值为 ．．．．．12分

(用其它方法解题酌情给分)

19.（本小题满分12分）

解:(1)由题意知

因此数列是一个首项.公比为3的等比数列，所以.．．．．．2分

又=100―(1+3+9)

所以=87,解得

因此数列是一个首项,公差为―5的等差数列,

所以 ．．．．．4分

 (2) 求视力不小于5.0的学生人数为．．．．．7分

(3) 由   ①

可知，当时，  ②

①-②得，当时， , www.zxsx.com

 , ．．．．．11分

又

因此数列是一个从第2项开始的公比为3的等比数列,

数列的通项公式为．．．．．13分

20.（本小题满分12分）

解:(1)由于,

     ∴,解得,

     ∴椭圆的方程是．．．．．3分
(2)∵,∴三点共线,

而,设直线的方程为,

   由消去得:

   由,解得．．．．．6分

   设,由韦达定理得①,

    又由得:,∴②.

将②式代入①式得:,

    消去得: ．．．．．10分

    设,当时, 是减函数,

    ∴, ∴, www.zxsx.com

解得,又由得,

∴直线AB的斜率的取值范围是．．．．．13分

21. （本小题满分12分）

 (1)解:

     ①若

∵，则，∴，即.

       ∴在区间是增函数，故在区间的最小值是

．．．．．2分

     ②若

令，得.

又当时，；当时，，

∴在区间的最小值是．．．．．4分

   (2)证明:当时，，则，

      ∴,

      当时，有，∴在内是增函数，

      ∴，

∴在内是增函数，www.zxsx.com

      ∴对于任意的，恒成立．．．．．7分

   (3)证明:

,

      令

      则当时,≥

                      ,．．．．．10分

      令,则,www.zxsx.com

当时, ；当时，；当时，，

则在是减函数，在是增函数，

∴，

∴，

∴，即不等式≥对于任意的恒成立．．．．．13分