题目列表(包括答案和解析)
已知数列
的前
项和为
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通项公式；
(Ⅱ) 设
(
N*).
①证明： 
；
② 求证：
.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用
关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到
，②由于
，
所以
利用放缩法，从此得到结论。
解：(Ⅰ)当
时，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
从而有
，与矛盾，所以
.
从而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①证明：
证法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
证法二：
，下同证法一.
……10分
证法三：（利用对偶式）设
，
，
则
.又
，也即
，所以
，也即
，又因为
，所以
.即
………10分
证法四：（数学归纳法）①当
时, 
,命题成立;
②假设
时,命题成立,即
,
则当
时,
即
即
故当时，命题成立.
综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
从而
.
也即
（本小题满分12分）设等差数列{
}的前n项和为
，且
。
（1）求数列{}的通项公式及前n项和公式；
（2）设数列{
}的通项公式为 
，是否存在正整数t，使得
成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由
（本小题满分12分）设等差数列{
}的前n项和为
，且
。
（1）求数列{}的通项公式及前n项和公式；
（2）设数列{
}的通项公式为
，是否存在正整数t，使得
成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由
（本小题满分16分）
数列
的前n项和为
，存在常数A，B，C，使得
对任意正整数n都成立。
（１） 若数列为等差数列，求证：3A－B＋C＝０；
（２） 若
设
数列
的前ｎ项和为
，求；
（３） 若C=0，是首项为1的等差数列，设
，求不超过P的最大整数的值。
的前n项和为
，存在常数A，B，C，使得
对任意正整数n都成立。为等差数列，求证：3A－B＋C＝０；
设
数列
的前ｎ项和为
，求；是首项为1的等差数列，设
，求不超过P的最大整数的值。一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
D
C
D
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分
9．
10. 60
11.
12.
13. 2 14. -2；1
三、解答题： 本大题共6个小题，共80分。
15. （本小题共13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数
的定义域；
（Ⅱ）求函数在区间
上的最值。
解：（Ⅰ）由题意 
所求定义域为
{
}
…………4分
（Ⅱ）
…………9分
由
知 
，
所以当
时，取得最大值为
；
…………11分
当
时，取得最小值为0 。
…………13分
16. （本小题共13分）
已知数列
中，
，点（1，0）在函数
的图像上。
（Ⅰ）求数列
的通项；
（Ⅱ）设
，求数列
的前n项和
。
解：(Ⅰ)由已知 
又
…………3分
所以 数列是公比为
的等比数列 所以 
…………6分
（Ⅱ） 由 
…………9分
所以
…………13分
17. （本小题共14分）
如图，在正三棱柱
中，
,
是
的中点，点
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角
的正切值；
(Ⅲ) 证明
.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
又 是正△ABC边的中点，
…………3分
∠
为所成角
又 
sin∠=
…………5分
所以所成角为
（
）
（Ⅱ） 由已知得 
∠
为二面角的平面角， 所以 
…………9分
(Ⅲ)证明: 依题意 得 
，
，
因为 
…………11分
又由（Ⅰ）中 知
，且
，
…………14分
18. （本小题共13分）
某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目。每名学生至多选修一个模块，
的学生选修过《几何证明选讲》，
的学生选修过《数学史》，假设各人的选择相互之间没有影响。
(Ⅰ)任选1名学生，求该生没有选修过任何一个模块的概率；
(Ⅱ)任选4名学生，求至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率。
解：(Ⅰ)设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件A，
参加过《数学史》的选修为事件B， 该生没有选修过任何一个模块的概率为P，
则
所以 该生没有选修过任何一个模块的概率为
…………6分
(Ⅱ)至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为
所以至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为
…………13分
19. （本小题共13分）
已知函数
的图像如图所示。
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)若函数在
处的切线方程为
，求函数的
解析式；
（Ⅲ）若
=5，方程
有三个不同的根，求实数
的取值范围。
解： 函数的导函数为 
(Ⅰ)由图可知
函数的图像过点（0，3），且
得 
…………3分
(Ⅱ)依题意
且
解得 
所以
…………8分
（Ⅲ）依题意 
由 
①
若方程有三个不同的根，当且仅当 满足 
②
由 ① ② 得 
所以 当 
时 ，方程有三个不同的根。 …………13分
20. （本小题共14分）
已知
分别为椭圆
的左、右焦点，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于直线，垂足为
，线段
的垂直平分线交
于点M。
(Ⅰ)求动点M的轨迹
的方程；
(Ⅱ)过点作直线交曲线于两个不同的点P和Q，设＝
，若∈[2，3]，求
的取值范围。
解：(Ⅰ)设M
，则
，由中垂线的性质知
|
|=
化简得的方程为
…………3分
（另：由知曲线是以x轴为对称轴，以
为焦点，以为准线的抛物线
所以 
，
则动点M的轨迹的方程为）
(Ⅱ)设
，由＝ 知 
①
又由 在曲线上知 
②
由 ① ② 解得
所以
有 
…………8分
=
=
=
…………10分
设
，∈[2，3]，
有
在区间
上是增函数，
得 
进而有
所以 的取值范围是
…………14分
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