题目列表(包括答案和解析)
在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度，结果如下(单位：mm)：
82 202 352 321 25 293 293 86 28 206
323 355 357 33 325 113 233 294 50 296
115 236 357 326 52 301 140 328 238 358
58 255 143 360 340 302 370 343 260 303
59 146 60 263 170 305 380 346 61 305
175 348 264 383 62 306 195 350 265 385
(1)列出样本的频率分布表，画出频率分布直方图；
(2)计算样本的平均数和标准差；
(3)由样本数据估计总体中有多少数据落入区间(
－2s，＋2s)．
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
B
D
C
D
C
D
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分
9．
10. 60
11.
12.
13. 2 14. -2；1
三、解答题： 本大题共6个小题，共80分。
15. （本小题共13分）
已知函数
（Ⅰ）求函数
的定义域；
（Ⅱ）求函数在区间
上的最值。
解：（Ⅰ）由题意 
所求定义域为 {
}
…………4分
（Ⅱ）
…………9分
由
知 
，
所以当
时，取得最大值为
；
…………11分
当
时，取得最小值为0 。
…………13分
16. （本小题共13分）
已知数列
中，
，点（1，0）在函数
的图像上。
（Ⅰ）求数列
的通项；
（Ⅱ）设
，求数列
的前n项和
。
解：(Ⅰ)由已知 
又
…………3分
所以 数列是公比为
的等比数列 所以 
…………6分
（Ⅱ） 由 
…………9分
所以
…………13分
17. （本小题共14分）
如图，在正三棱柱
中，
,
是
的中点，点
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角
的正切值；
(Ⅲ) 证明
.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
又 是正△ABC边的中点，
…………3分
∠
为所成角
又 
sin∠=
…………5分
所以所成角为
（
）
（Ⅱ） 由已知得 
∠
为二面角的平面角， 所以 
…………9分
(Ⅲ)证明: 依题意 得 
，
，
因为 
…………11分
又由（Ⅰ）中 知
，且
，
…………14分
18. （本小题共13分）
某校高二年级开设《几何证明选讲》及《数学史》两个模块的选修科目。每名学生至多选修一个模块，
的学生选修过《几何证明选讲》，
的学生选修过《数学史》，假设各人的选择相互之间没有影响。
(Ⅰ)任选1名学生，求该生没有选修过任何一个模块的概率；
(Ⅱ)任选4名学生，求至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率。
解：(Ⅰ)设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件A，
参加过《数学史》的选修为事件B， 该生没有选修过任何一个模块的概率为P，
则
所以 该生没有选修过任何一个模块的概率为
…………6分
(Ⅱ)至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为
所以至少有3人选修过《几何证明选讲》的概率为
…………13分
19. （本小题共13分）
已知函数
的图像如图所示。
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)若函数在
处的切线方程为
，求函数的
解析式；
（Ⅲ）若
=5，方程
有三个不同的根，求实数
的取值范围。
解： 函数的导函数为 
(Ⅰ)由图可知
函数的图像过点（0，3），且
得 
…………3分
(Ⅱ)依题意
且
解得 
所以
…………8分
（Ⅲ）依题意 
由 
①
若方程有三个不同的根，当且仅当 满足 
②
由 ① ② 得 
所以 当 
时 ，方程有三个不同的根。 …………13分
20. （本小题共14分）
已知
分别为椭圆
的左、右焦点，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于直线，垂足为
，线段
的垂直平分线交
于点M。
(Ⅰ)求动点M的轨迹
的方程；
(Ⅱ)过点作直线交曲线于两个不同的点P和Q，设＝
，若∈[2，3]，求
的取值范围。
解：(Ⅰ)设M
，则
，由中垂线的性质知
|
|=
化简得的方程为
…………3分
（另：由知曲线是以x轴为对称轴，以
为焦点，以为准线的抛物线
所以 
，
则动点M的轨迹的方程为）
(Ⅱ)设
，由＝ 知 
①
又由 在曲线上知 
②
由 ① ② 解得
所以
有 
…………8分
=
=
=
…………10分
设
，∈[2，3]，
有
在区间
上是增函数，
得 
进而有 
所以 的取值范围是
…………14分
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