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如图，从点P₁（0，0）做x轴的垂线交曲线y=e^x于点Q₁（0，1），曲线在Q₁点处的切线与x轴交于点P₂，再从P₂做x轴的垂线交曲线于点Q₂，依次重复上述过程得到一系列点：P₁，Q₁；P₂，Q₂…；P_n，Q_n，记P_k点的坐标为（x_k，0）（k=1，2，…，n）．
（Ⅰ）试求x_k与x_k-1的关系（2≤k≤n）；
（Ⅱ）求|P₁Q₁|+|P₂Q₂|+|P₃Q₃|+…+|P_nQ_n|．

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如图，从点P₁（0，0）做x轴的垂线交曲线y=e^x于点Q₁（0，1），曲线在点Q₁处的切线与x轴交于点P₂，再从P₂做x轴的垂线交曲线于点Q₂，依次重复上述过程得到一系列点：P₁，Q₁；P₂，Q₂；…P_n，Q_n，记点P_k的坐标为（x_k，0）（k=1，2，3，…n）。

（1）试求x_k与x_k-1的关系（2≤k≤n）；
（2）求|P₁Q₁|+|P₂Q₂|+…+|P_nQ_n|。

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一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

B

D

C

D

C

B

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分

9．60   10. 4    11.    12. 2    13.与 或 与  14. -2；1

三、解答题： 本大题共6个小题，共80分。

15. （本小题共13分）已知函数

（Ⅰ）求函数的定义域；   （Ⅱ）求函数在区间上的最值。

解：（Ⅰ）由题意                  

所求定义域为  {}                             …………4分

（Ⅱ）

                           …………9分

由   知   ，

所以当时，取得最大值为；                   …………11分

当时，取得最小值为0 。                   …………13分

16.（本小题共13分）已知数列中，，当时，函数取得极值。（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）在数列中，，，求的值

解：（Ⅰ）     由题意    得    ，   …………6分

又  所以 数列是公比为的等比数列  所以   …………8分

（Ⅱ） 因为   ，                 …………10分

所以    ，，，……，

叠加得           把代入得   =       …………13分

17. （本小题共14分）

如图，在正三棱柱中，,是的中点，点在上，。

（Ⅰ）求所成角的正弦值；                

（Ⅱ）证明；(Ⅲ) 求二面角的大小.

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，   

，又是正△ABC边的中点，

，         

∠为所成角

又     sin∠=                          …………5分

（Ⅱ）证明:  依题意得   ，，

 因为    由（Ⅰ）知， 而，

所以              所以                     …………9分

(Ⅲ) 过C作于，作于，连接

  ，   …………11分  

又      是所求二面角的平面角

，      

二面角的大小为                                …………14分

18. （本小题共13分）

某校高二年级开设《几何证明选讲》及《坐标系与参数方程》两个模块的选修科目。每名学生可以选择参加一门选修，参加两门选修或不参加选修。已知有60%的学生参加过《几何证明选讲》的选修，有75%的学生参加过《坐标系与参数方程》的选修，假设每个人对选修科目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。

(Ⅰ)任选一名学生，求该生参加过模块选修的概率；

(Ⅱ)任选3名学生，记为3人中参加过模块选修的人数，求的分布列和期望。

解：(Ⅰ)设该生参加过《几何证明选讲》的选修为事件A，

参加过《坐标系与参数方程》的选修为事件B， 该生参加过模块选修的概率为P，

则

则 该生参加过模块选修的概率为0.9                                 …………6分

（另：）

(Ⅱ) 可能取值0，1，2，3

    =0.001，=0.027

=0.243，   =0.729             …………10分

0

1

2

3

0.001

0.027

0.243

0.729

的分布列为

                                            …………13分

19. （本小题共13分）

           已知分别为椭圆的左、右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线，垂足为，线段的垂直平分线交于点M。(Ⅰ)求动点M的轨迹的方程；(Ⅱ)过点作直线交曲线于两个不同的点P和Q，设＝，若∈[2，3]，求的取值范围。

解：(Ⅰ)设M，则，由中垂线的性质知

||=     化简得的方程为                …………3分

（另：由知曲线是以x轴为对称轴，以为焦点，以为准线的抛物线

    所以  ，         则动点M的轨迹的方程为）

(Ⅱ)设，由＝  知        ①

又由在曲线上知  ②

由  ①  ②       解得    所以 有           …………8分

===     …………10分

设    有 在区间上是增函数，

得，进而有 ，所以的取值范围是 ……13分

20. （本小题共14分）

     函 数  是 定 义 在R上 的 偶 函 数，且时，

，记函数的图像在处的切线为，。

(Ⅰ) 求在上的解析式；

(Ⅱ) 点列在上，

依次为x轴上的点，

如图，当时，点构成以为底边

的等腰三角形。若，求数列的通项公式；

(Ⅲ)在 (Ⅱ)的条件下，是否存在实数a使得数列是等差数列？如果存在，写出的一个值；如果不存在，请说明理由。

解：(Ⅰ) 函数是定义在R上的偶函数，且

；是周期为2的函数         …………1分

由 可知=-4       ，             …………4分

(Ⅱ) 函数的图像在处的切线为，且，

切线过点且斜率为1，切线的方程为y=x+1                …………6分

在上，有        即

点构成以为底边的等腰三角形… ①

同理… ②     两式相减 得          

                                   …………11分

(Ⅲ) 假设是等差数列 ，则                  …………14分

故存在实数a使得数列是等差数列。