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    题目列表(包括答案和解析)

    （本小题满分14分）

    已知函数。

    （1）证明：

    （2）若数列的通项公式为，求数列 的前项和；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （3）设数列满足：，设，

    若（2）中的满足对任意不小于2的正整数，恒成立，

    试求的最大值。

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    （本小题满分14分）已知，点在轴上，点在轴的正半轴，点在直线上，且满足，. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （Ⅰ）当点在轴上移动时，求动点的轨迹方程；

    （Ⅱ）过的直线与轨迹交于、两点，又过、作轨迹的切线、，当，求直线的方程.

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    （本小题满分14分）设函数

     （1）求函数的单调区间；

     （2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

     （3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围。

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    （本小题满分14分）

    已知，其中是自然常数，

    （1）讨论时, 的单调性、极值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

    （2）求证：在（1）的条件下，；

    （3）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

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    （本小题满分14分）

    设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

    （I）求数列的通项公式；

    （II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

    （III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。

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    A．必做题部分

    一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

    1．　　2．　3．共线　4．20　5．　6．　7．　　8．2，5，10　 9．16.4 　10．1　 11．7 　12．　　13．2 　　14．

    二、解答题：

    15．解：(1)

    　　　

    (2)　　　

    余弦定理可得

    又∵

    ∴

    16．证明  (1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，

    ∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD 

    (2)取CD中点G，连EG、FG，

    ∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD

    ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

    (3）解  当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD

    证明  G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角  即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP

    由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

    又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD

    17．解：（1）依题意，到距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线                                                                                   

      曲线方程是                                                                

    （2）设圆心，因为圆过

    故设圆的方程                                       

    令得：

    设圆与轴的两交点为，则 

    在抛物线上，        

    所以，当运动时，弦长为定值2                                                   

    18．解（1）设日销售量为

    则日利润

    （2）

    ①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35 <x<41时，

    ∴当x=35时，L（x）取最大值为

    ②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，

    易知当x=a+31时，L（x）取最大值为综合上得

    19．解(1)据题意:

    可行域如图(暂缺)

    的几何意义是定点到区域内的点连线的斜率,

    又

    故的取值范围为

    (2)当有零点时,,满足条件为

    由抛物线的下方与围成的区域面积

    由直线围成的区域面积

    故有零点的概率

    无零点的概率为

     

     (3)是函数.

    证明： 符合条件．

    因为，

    同理：；                                  

    ．

        所以， 符合条件．              

    20．（1）解：由已知：对于，总有 ①成立

    ∴   （n ≥ 2）② 

    ①--②得

    ∴

    ∵均为正数，∴   （n ≥ 2）

    ∴数列是公差为1的等差数列                又n=1时，， 解得=1

    ∴.()  

    （2）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.……6分

    ∴

     

    (3)解：由已知  ，      

             

            易得　

            猜想 n≥2 时，是递减数列.

    令

    ∵当

    ∴在内为单调递减函数.

    由.

    ∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.

    又 , ∴数列中的最大项为. 

    B．附加题部分

    三、附加题部分：

    21．（必做题）（本小题满分12分）

    解：（1）将代入得，

            由△可知，

            另一方面，弦长AB，解得；

    （2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，

    则只须使得，

    即，即位于（4，4）点处．

     

    22．（必做题）（本小题满分12分）

    解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、、；

    表示事件“恰有一人通过笔试”

               则

     

       （2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为，

    所以，故．

    解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件，

    则

    所以，

    ，．

    于是，．

     

    23．（选做题）（本小题满分8分）

    证明：（1）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，

          ∵E是BD的中点，∴BE=DE，

          又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，

          ∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，

          ∴BF：FC=DG：FC，

          又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，

          则BF：FC=1：2；

            （2）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，

                则由（1）知BF：BC=1：3，

               又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分别为△BEF和△BDC的高，

    则，则=1：5．

     

     

     

     

     

     

     

     

    24．（选做题）（本小题满分8分）

    解：（1）消去参数，得直线的普通方程为；-----------------------2分

    即，

    两边同乘以得，

    消去参数，得⊙的直角坐标方程为：

     

    （2）圆心到直线的距离，

    所以直线和⊙相交．

     

    25．（选做题）（本小题满分8分）

    解：MN = =，

        即在矩阵MN变换下，

    则，

    即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为．

     

     

    26．（选做题）（本小题满分8分）

    证明：（1）当时，左边＝，时成立 

    （2）假设当时成立，即

    那么当时，左边

    时也成立                  

    根据（1）（2）可得不等式对所有的都成立     

     

     

     

     


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