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甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75．
（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；
（2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为，求随机变量的期望E（）．

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A．必做题部分

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）

1．　　2．　3．共线　4．20　5．　6．　7．　　8．2，5，10　 9．16.4 　10．1　 11．7 　12．　　13．2 　　14．

二、解答题：

15．解：(1)

(2)　　　

余弦定理可得

又∵

∴

16．证明  (1)∵PA⊥底面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，

∵CD平面ABCD且CD⊥AD，∴CD⊥PD 

(2)取CD中点G，连EG、FG，

∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD

∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD

(3）解  当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD

证明  G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角  即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP

由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE

又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD

17．解：（1）依题意，到距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线                                                                                   

  曲线方程是                                                                

（2）设圆心，因为圆过

故设圆的方程                                       

令得：

设圆与轴的两交点为，则 

在抛物线上，        

所以，当运动时，弦长为定值2                                                   

18．解（1）设日销售量为

则日利润

（2）

①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35 <x<41时，

∴当x=35时，L（x）取最大值为

②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，

易知当x=a+31时，L（x）取最大值为综合上得

19．解(1)据题意:

可行域如图(暂缺)

的几何意义是定点到区域内的点连线的斜率,

又

故的取值范围为

(2)当有零点时,,满足条件为

由抛物线的下方与围成的区域面积

由直线围成的区域面积

故有零点的概率

无零点的概率为

 (3)是函数.

证明： 符合条件．

因为，

同理：；                                  

．

    所以， 符合条件．              

20．（1）解：由已知：对于，总有 ①成立

∴   （n ≥ 2）② 

①--②得

∴

∵均为正数，∴   （n ≥ 2）

∴数列是公差为1的等差数列                又n=1时，， 解得=1

∴.()  

（2）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.……6分

∴

(3)解：由已知  ，      

        易得　

        猜想 n≥2 时，是递减数列.

令

∵当

∴在内为单调递减函数.

由.

∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.

又 , ∴数列中的最大项为. 

B．附加题部分

三、附加题部分：

21．（必做题）（本小题满分12分）

解：（1）将代入得，

        由△可知，

        另一方面，弦长AB，解得；

（2）当时，直线为，要使得内接△ABC面积最大，

则只须使得，

即，即位于（4，4）点处．

22．（必做题）（本小题满分12分）

解：（1）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件、、；

表示事件“恰有一人通过笔试”

           则

   （2）解法一：因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为，

所以，故．

解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件，

则

所以，

，．

于是，．

23．（选做题）（本小题满分8分）

证明：（1）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，

      ∵E是BD的中点，∴BE=DE，

      又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，

      ∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，

      ∴BF：FC=DG：FC，

      又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，

      则BF：FC=1：2；

        （2）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，

            则由（1）知BF：BC=1：3，

           又由BE：BD=1：2可知：=1：2，其中、分别为△BEF和△BDC的高，

则，则=1：5．

24．（选做题）（本小题满分8分）

解：（1）消去参数，得直线的普通方程为；-----------------------2分

即，

两边同乘以得，

消去参数，得⊙的直角坐标方程为：

（2）圆心到直线的距离，

所以直线和⊙相交．

25．（选做题）（本小题满分8分）

解：MN = =，

    即在矩阵MN变换下，

则，

即曲线在矩阵MN变换下的函数解析式为．

26．（选做题）（本小题满分8分）

证明：（1）当时，左边＝，时成立 

（2）假设当时成立，即

那么当时，左边

时也成立                  

根据（1）（2）可得不等式对所有的都成立