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如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2.四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且＝λ.

(1)求证：EF∥平面PAD.
(2)当λ＝时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；
(3)是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）当时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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（2013•朝阳区一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且

PE

PB

=

PF

PC

=λ．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）当λ=

1

2

时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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1.（1）因为，所以

      又是圆O的直径，所以

      又因为（弦切角等于同弧所对圆周角）

      所以所以

      又因为，所以相似

      所以，即

  （2）因为，所以，

       因为，所以

       由（1）知：。所以

       所以，即圆的直径

       又因为，即

     解得

2.依题设有：

 令，则

3.将极坐标系内的问题转化为直角坐标系内的问题

  点的直角坐标分别为

  故是以为斜边的等腰直角三角形，

  进而易知圆心为，半径为，圆的直角坐标方程为

      ，即

  将代入上述方程，得

  ，即

4.假设，因为，所以。

又由，则，

所以，这与题设矛盾

又若，这与矛盾

综上可知，必有成立

同理可证也成立

命题成立

5. 解：由a₁=S₁,k=.下面用数学归纳法进行证明.

1°.当n=1时，命题显然成立；

2°.假设当n=k(kN*)时，命题成立,

即1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）= k（k+1）（k+2）（k+3）,

则n=k+1时，1?2?3+2?3?4+……+ k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）= k（k+1）（k+2）（k+3）+（k+1）（k+2）（k+3）

=( k+1)（k+1+1）（k+1+2）（k+1+3）

即命题对n=k+1.成立

由1°, 2°，命题对任意的正整数n成立.

6.（1）因为，，

      ，所以

       故事件A与B不独立。

   （2）因为

       所以