20080416

二、填空题：每题5分，共20分）

13．   14.或或;  15.a=-1或a=-;   

16．①④

17．解：（1），

．又，．（6分）

（2）由且，

得．，．（6分）

18．证法一：向量法

证法二：（1）由已知有BC⊥AB，BC⊥B₁B，∴BC⊥平面ABB₁A₁

又A₁E在平面ABB₁A₁内     ∴有BC⊥A₁E

（2）取B₁C的中点D，连接FD、BD

∵F、D分别是AC₁、B₁C之中点，∴FD∥A₁B₁∥BE

∴四边形EFBD为平行四边形    ∴EF∥BD

又BD平面BCC₁B₁   

∴EF∥面BCC₁B₁

（3）过B₁作B₁H⊥CEFH，连BH，又B₁B⊥面BAC，B1H⊥CE

∴BH⊥EC    ∴∠B₁HB为二面角B₁-EC-B平面角

在Rt△BCE中有BE=，BC=，CE=，BH=

又∠A₁CA=      ∴BB₁=AA₁=AC=2   

∴tan∠B₁HB=

19．解（1）由已知圆的标准方程为：（x-aCosφ）²+（y-aSinφ）²=a²（a>0）

设圆的圆心坐标为（x,y）,

则（为参数）,消参数得圆心的轨迹方程为:x²+y²=a²,（5分）

  （2）有方程组得公共弦的方

程:圆X²+Y²=a²的圆心到公共弦的距离d=，（定值）

∴弦长l=（定值）        （5分）

20．（1）合格结果：0,1,2,3   相应月盈利额X=-30，5，40，75

（2）P（X≥40）=P（X=40）+P（X=75）=

（3）

X

-30

5

40

75

P

EX=54（元）    ∴6个月平均：6×54=324（元）

21．（1）由已知：   

依题意得：≥0对x∈成立

∴ax-1≥0,对x∈恒成立，即a≥,对x∈恒成立，

∴a≥（）_max,即a≥1.

（2）当a=1时，，x∈[,2]，若x∈，则，

若x∈，则，故x=1是函数f（x）在区间[,2]上唯一的极小值点，也就是最小值点，故f（x）_min=f（1）=0.

又f（）=1-ln2，f（2）=- +ln2，f（）-f（2）=-2ln2=，

∵e³>2.7³=19.683>16，

∴f（）-f（2）>0   

∴f（）>f（2）  

∴f（x）在[,2]上最大值是f（）

∴f（x）在[,2]最大1-ln2，最小0

（3）当a=1时，由（1）知，f（x）=+lnx在

当n>1时，令x=，则x>1     ∴f（x）>f（1）=0

即

即ln>

22．解：（1）设椭圆方程为（a>b>0）

则     ∴椭圆方程

（2） ∵直线∥DM且在y轴上的截距为m，∴y=x+m

由

∵与椭圆交于A、B两点

∴△=（2m）²-4（2m²-4）>0-2<m<2（m≠0）

（3）设直线MA、MB斜率分别为k₁,k₂，则只要证：k₁+k₂=0

设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,则k₁=,k₂=

由x²+2mx+2m²-4=0得x₁+x₂=-2m,x₁x₂=2m²-4

而k₁+k₂=+= （*）

又y₁=x₁+m  y₂=x₂+m

∴（*）分子=（x₁+m-1）（x₂-2）+（ x₂+m -1）（x₁-2）

=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）

=2m²-4+（m-2）（-m）-4（m-1）

  =0

∴k₁+k₂=0,证之.