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集合的真子集的个数是    个．

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一．选择题：DDCAB DDDAB

解析：1：∵，

∴

∴，

而i，j为互相垂直的单位向量，故可得∴。故选

2：∵ ∴0<b<a<1. 由指数函数的单调性可知：,又∵ ∴选(D)

3:作y=与y=的图象,从图中可以看出:两曲线有3个交点,即方程有3个实根.选(C)

4:由斜率去筛选，则可排除(C)、(D)；再用点（－1，3）去筛选，代入(A)成立,

 ∴应选(A).

5：取α= ±、±,代入求出sinα、tanα 、cotα 的值，易知α=-适合题设条件，∴应选(B).

      M - i
              2 

6：由复数模的几何意义，画出右图，可知当圆上的点到M的距离最大时即为|z－ｉ|最大。所以选D

7： ∵球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝， 则S_球＝4πR²≥4πr²＝π＞5π，故选（D）.

8：当θ0时，sin(sinθ)0，cosθ1，cos(cosθ)cos1，故排除A，B.

当θ时，cos(sinθ)cos1，cosθ0，故排除C，因此选D.

9：由于的含义是于是若成立，则有成立；同理，若成立，则也成立，以上与指令“供选择的答案中只有一个正确”相矛盾，故排除.再考虑，取代入得，显然，排除.故选.

10：选项暗示我们，只要判断出直线的条数就行，无须具体求出直线方程。以A（1，2）为圆心，1为半径作圆A，以B（3，1）为圆心，2为半径作圆B。由平面几何知识易知，满足题意的直线是两圆的公切线，而两圆的位置关系是相交，只有两条公切线。故选B。

二．填空题：11、；12、； 13、或；14、－1；15、4，；

解析：

11：　，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.

12：容易发现，于是   原式＝，应填

13：记椭圆的二焦点为，有

则知

    显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.

    故应填或

14.（略）

15.（略）

三．解答题：

16.解：（1）由题设，得

-----------------3分

因为与垂直   即

. 又，故，∴的值为2.   ------------------6分

（2）当垂直时，

 ------------------8分

，则------------------10分

  ------------------12分

17.解:（I）基本事件总数为，

若使方程有实根，则，即。------------------2分

当时，；  当时，； ------------------3分

 当时，；   当时，；  ------------------4分

 当时，；     当时，,      ------------------5分

目标事件个数为

 因此方程 有实根的概率为------------------6分

(II)由题意知，，则 ，，

故的分布列为

0

1

2

P

的数学期望    ------------------10分

(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程 有实根” 为事件N，则，，   .------------------12分

18.解：（Ⅰ），                            

由题意得，是的两个根，

解得，．                      ------------------2分

再由可得．

∴．  ------------------4分

（Ⅱ），

当时，；当时，；------------------5分
当时，；当时，；------------------6分
当时，．∴函数在区间上是增函数；------------------7分
在区间上是减函数；在区间上是增函数．
函数的极大值是，极小值是．         ------------------9分

（Ⅲ）函数的图象是由的图象向右平移个单位，向上平移4个单位得到，

所以，函数在区间上的值域为（）．-------------10分

而，∴，即．                           

于是，函数在区间上的值域为．------------------12分

令得或．

由的单调性知，，即．

综上所述，、应满足的条件是：，且------------------14分

19.（Ⅰ）证明：连结交于，连结.

是正方形，∴ 是的中点. ----------1分

是的中点， ∴是的中位线.  ∴.  ----------2分

 又∵平面， 平面， ----------3分

∴平面.------------------4分

（II）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

由故设，则

.  ----------6分

底面，

∴是平面的法向量，．----------7分

设平面的法向量为,

,

则  即 

 ∴     令,则.  ----------9分

∴,

∴二面角的余弦值为． ------------------10分

（III）， ，

----------11分

   又且.----------12分

.  又平面    ----------13分

 ∴平面⊥平面.     ------------------14分

20.解：（Ⅰ）易知，椭圆的半焦距为：，

 又抛物线的准线为：.    ----------2分

设双曲线M的方程为，依题意有，

故，又.

∴双曲线M的方程为. ----------4分

（Ⅱ）设直线与双曲线M的交点为、两点

联立方程组 消去y得  ，-------5分

∵、两点的横坐标是上述方程的两个不同实根， ∴

∴，

从而有，.   ----------7分

又，

∴.

①     若，则有 ，即 .

∴当时，使得.    ----------10分

② 若存在实数,使A、B两点关于直线对称，则必有 ，

因此，当m=0时，不存在满足条件的k；

当时，由 得

∵A、B中点在直线上，

∴，代入上式得

，又， ∴----------13分

将代入并注意到，得 .

∴当时，存在实数，使A、B两点关于直线对称----------14分

21.解（I）三角形数表中前行共有个数，

 第行最后一个数应当是所给奇数列中的第项。

  故第行最后一个数是        

  因此，使得的m是不等式的最小正整数解。----------4分

  由得

  ----------6分

于是，第45行第一个数是 

     ----------7分

（II），。 

故        ----------9分

 第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列，故。

  故

   ，

    两式相减得：

        ----------13分

         ----------14分